【导数的计算练习题及答案】导数是微积分中的一个核心概念，广泛应用于数学、物理、工程等多个领域。掌握导数的计算方法对于理解函数的变化率和曲线的性质具有重要意义。本文将提供一些关于导数计算的练习题，并附有详细的解答过程，帮助读者巩固相关知识。
一、基本导数公式回顾
在开始练习之前，先回顾一下常见的基本导数公式：
1. 若 $ f(x) = x^n $，则 $ f'(x) = nx^{n-1} $
2. 若 $ f(x) = \sin x $，则 $ f'(x) = \cos x $
3. 若 $ f(x) = \cos x $，则 $ f'(x) = -\sin x $
4. 若 $ f(x) = e^x $，则 $ f'(x) = e^x $
5. 若 $ f(x) = \ln x $，则 $ f'(x) = \frac{1}{x} $
6. 若 $ f(x) = a^x $（$ a > 0, a \neq 1 $），则 $ f'(x) = a^x \ln a $
二、练习题
题目 1：
求函数 $ f(x) = 3x^2 + 5x - 7 $ 的导数。
解答：
根据导数的线性性质，逐项求导：
$$
f'(x) = 3 \cdot 2x + 5 \cdot 1 - 0 = 6x + 5
$$
题目 2：
求函数 $ f(x) = \sin(2x) $ 的导数。
解答：
使用链式法则，设 $ u = 2x $，则 $ f(u) = \sin u $，所以：
$$
f'(x) = \cos(2x) \cdot 2 = 2\cos(2x)
$$
题目 3：
求函数 $ f(x) = \frac{x^2 + 1}{x - 1} $ 的导数。
解答：
使用商法则：若 $ f(x) = \frac{u}{v} $，则 $ f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2} $。
这里，$ u = x^2 + 1 $，$ v = x - 1 $，则：
$$
u' = 2x,\quad v' = 1
$$
代入得：
$$
f'(x) = \frac{(2x)(x - 1) - (x^2 + 1)(1)}{(x - 1)^2}
= \frac{2x(x - 1) - (x^2 + 1)}{(x - 1)^2}
$$
展开并化简：
$$
= \frac{2x^2 - 2x - x^2 - 1}{(x - 1)^2}
= \frac{x^2 - 2x - 1}{(x - 1)^2}
$$
题目 4：
求函数 $ f(x) = e^{3x} \cdot \ln x $ 的导数。
解答：
使用乘积法则：若 $ f(x) = u \cdot v $，则 $ f'(x) = u'v + uv' $。
设 $ u = e^{3x} $，$ v = \ln x $，则：
$$
u' = 3e^{3x},\quad v' = \frac{1}{x}
$$
代入得：
$$
f'(x) = 3e^{3x} \cdot \ln x + e^{3x} \cdot \frac{1}{x}
= e^{3x} \left(3\ln x + \frac{1}{x}\right)
$$
题目 5：
已知 $ f(x) = \sqrt{x} $，求 $ f'(x) $。
解答：
将根号写成指数形式：$ f(x) = x^{1/2} $，则：
$$
f'(x) = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}
$$
三、总结
通过上述练习题可以看出，导数的计算需要熟练掌握基本公式和各种求导法则（如链式法则、乘积法则、商法则等）。在实际应用中，还需要注意函数的定义域以及可能存在的特殊点。
建议多做类似题目，逐步提高对导数计算的熟练度与准确度。希望这些练习题能帮助你更好地理解和掌握导数的相关知识。
