【两向量垂直公式推导】在向量几何中，判断两个向量是否垂直是常见的问题。垂直的向量之间存在特殊的数量关系，这种关系可以通过数学推导得出。以下是对“两向量垂直公式”的详细推导过程及总结。

一、基本概念

设向量 a = (a₁, a₂) 和 b = (b₁, b₂) 是二维空间中的两个向量，它们的夹角为 θ。

当两个向量垂直时，它们的夹角 θ = 90°，此时 cosθ = 0。

根据向量的点积（内积）定义：

$$

\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a} \vec{b} \cos\theta

$$

当 θ = 90° 时，cosθ = 0，因此：

$$

\vec{a} \cdot \vec{b} = 0

$$

这说明：两个向量垂直的充要条件是它们的点积为零。

二、点积公式推导

对于二维向量 a = (a₁, a₂) 和 b = (b₁, b₂)，其点积可表示为：

$$

\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2

$$

若这两个向量垂直，则有：

$$

a_1 b_1 + a_2 b_2 = 0

$$

这就是两向量垂直的公式。

三、总结与验证

四、应用示例

假设向量 a = (3, 4)，b = (-4, 3)，则：

$$

a_1 b_1 + a_2 b_2 = 3 \times (-4) + 4 \times 3 = -12 + 12 = 0

$$

所以，a 和 b 垂直。

五、结论

通过上述推导可以看出，两向量垂直的判定核心在于它们的点积是否为零。这一结论不仅适用于二维空间，也可推广到三维甚至更高维空间。掌握这一公式有助于快速判断向量之间的关系，在物理、工程和计算机图形学等领域有广泛应用。

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