【分式方程的解法例题】分式方程是含有分母的方程，其解法通常包括去分母、转化为整式方程、求解并检验等步骤。以下通过几个典型例题，总结分式方程的解法过程，并以表格形式展示关键步骤与答案。
一、例题解析
例题1：
题目：
$$
\frac{2}{x} + \frac{3}{x+1} = 1
$$
解法步骤：
1. 找出最简公分母：$ x(x+1) $
2. 两边同乘以最简公分母，消去分母：
$$
2(x+1) + 3x = x(x+1)
$$
3. 展开并整理方程：
$$
2x + 2 + 3x = x^2 + x \Rightarrow 5x + 2 = x^2 + x
$$
4. 移项得：
$$
x^2 - 4x - 2 = 0
$$
5. 解这个二次方程（可用求根公式）：
$$
x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 8}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{24}}{2} = 2 \pm \sqrt{6}
$$
6. 检验是否为原方程的解：
由于 $ x \neq 0 $ 且 $ x \neq -1 $，两个解均满足条件。
答案：
$$
x = 2 + \sqrt{6}, \quad x = 2 - \sqrt{6}
$$
例题2：
题目：
$$
\frac{x}{x-2} - \frac{1}{x+2} = 1
$$
解法步骤：
1. 最简公分母为：$ (x-2)(x+2) $
2. 两边乘以公分母：
$$
x(x+2) - (x-2) = (x-2)(x+2)
$$
3. 展开并整理：
$$
x^2 + 2x - x + 2 = x^2 - 4 \Rightarrow x^2 + x + 2 = x^2 - 4
$$
4. 移项化简：
$$
x + 2 = -4 \Rightarrow x = -6
$$
5. 检验：
$ x = -6 $ 不使分母为零，因此是有效解。
答案：
$$
x = -6
$$
例题3：
题目：
$$
\frac{1}{x} + \frac{1}{x+1} = \frac{2}{x(x+1)}
$$
解法步骤：
1. 最简公分母为 $ x(x+1) $
2. 两边乘以公分母：
$$
(x+1) + x = 2
$$
3. 化简：
$$
2x + 1 = 2 \Rightarrow x = \frac{1}{2}
$$
4. 检验：
$ x = \frac{1}{2} $ 不使分母为零，有效。
答案：
$$
x = \frac{1}{2}
$$
二、总结表格
| 题目 | 分式方程 | 解法步骤 | 答案 |
| 例题1 | $ \frac{2}{x} + \frac{3}{x+1} = 1 $ | 去分母 → 整理 → 解二次方程 → 检验 | $ x = 2 \pm \sqrt{6} $ |
| 例题2 | $ \frac{x}{x-2} - \frac{1}{x+2} = 1 $ | 去分母 → 整理 → 解一次方程 → 检验 | $ x = -6 $ |
| 例题3 | $ \frac{1}{x} + \frac{1}{x+1} = \frac{2}{x(x+1)} $ | 去分母 → 整理 → 解一次方程 → 检验 | $ x = \frac{1}{2} $ |
三、注意事项
- 在解分式方程时，必须对解进行检验，排除使分母为零的值。
- 若方程中存在多个分母，应先找到最简公分母再进行去分母操作。
- 有时会出现增根，需特别注意。
通过以上例题和总结，可以更好地掌握分式方程的解法技巧和常见问题处理方法。
以上就是【分式方程的解法例题】相关内容，希望对您有所帮助。
