【高中不等式最大值与最小值公式】在高中数学中，不等式的最大值与最小值问题是常见的考点之一，通常涉及二次函数、均值不等式、线性规划等多种方法。掌握这些公式和解题思路，有助于提高解题效率和准确性。
一、常见不等式类型及求极值方法
| 不等式类型 | 公式/表达形式 | 求极值方法 | 备注 | ||||||||||
| 一元二次不等式 | $ ax^2 + bx + c > 0 $ 或 $ < 0 $ | 判别式法、图像法、根的分布分析 | 注意开口方向与判别式符号 | ||||||||||
| 均值不等式（AM ≥ GM） | $ \frac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1a_2\dots a_n} $ | 构造对称变量，利用等号成立条件 | 当且仅当所有变量相等时取等号 | ||||||||||
| 线性规划问题 | 目标函数：$ z = ax + by $，约束条件为线性不等式组 | 图解法、顶点代入法 | 最优解在可行域顶点处取得 | ||||||||||
| 条件极值 | 在给定条件下求函数极值 | 拉格朗日乘数法、代入消元法 | 适用于多变量问题 | ||||||||||
| 三角不等式 | $ | a | - | b | \leq | a \pm b | \leq | a | + | b | $ | 直接应用 | 用于处理绝对值问题 |
二、典型例题解析
例1：一元二次不等式
题目：求函数 $ f(x) = x^2 - 4x + 3 $ 的最小值。
解法：
该函数为开口向上的抛物线，其顶点即为最小值点。
顶点横坐标：$ x = \frac{-b}{2a} = \frac{4}{2} = 2 $
代入得：$ f(2) = 2^2 - 4×2 + 3 = -1 $
结论：最小值为 -1。
例2：均值不等式
题目：已知 $ x, y > 0 $，且 $ x + y = 1 $，求 $ xy $ 的最大值。
解法：
由均值不等式可得：
$$
\frac{x + y}{2} \geq \sqrt{xy} \Rightarrow \frac{1}{2} \geq \sqrt{xy}
\Rightarrow xy \leq \frac{1}{4}
$$
当且仅当 $ x = y = \frac{1}{2} $ 时，取到最大值。
结论：最大值为 $\frac{1}{4}$。
例3：线性规划
题目：设 $ x, y \geq 0 $，且满足 $ x + y \leq 5 $，$ 2x + y \leq 8 $，求目标函数 $ z = 3x + 2y $ 的最大值。
解法：
画出可行域，找出顶点并代入计算：
- (0,0): $ z = 0 $
- (0,5): $ z = 10 $
- (3,2): $ z = 13 $
- (4,0): $ z = 12 $
结论：最大值为 13，在点 (3,2) 处取得。
三、总结
在高中阶段，不等式最大值与最小值问题主要通过以下方式解决：
1. 一元二次函数：利用顶点公式或判别式；
2. 均值不等式：构造对称变量，结合等号条件；
3. 线性规划：图解法或代入顶点计算；
4. 条件极值：拉格朗日乘数法或代入消元。
掌握这些方法和公式，能有效提升解题能力，并在考试中灵活运用。
附表：关键公式速查表
| 类型 | 公式 | 说明 | ||||||||||
| 二次函数最值 | $ x = -\frac{b}{2a} $ | 开口方向决定最大或最小值 | ||||||||||
| 均值不等式 | $ \frac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1a_2\dots a_n} $ | 变量非负时适用 | ||||||||||
| 线性规划 | $ z = ax + by $ | 在可行域顶点处取得极值 | ||||||||||
| 绝对值不等式 | $ | a | - | b | \leq | a ± b | \leq | a | + | b | $ | 用于处理绝对值问题 |
如需进一步练习，建议结合具体题型进行专项训练，逐步提升逻辑推理与运算能力。
以上就是【高中不等式最大值与最小值公式】相关内容，希望对您有所帮助。
