【二次函数求根公式只有一个根条件】在数学中，二次函数是形如 $ y = ax^2 + bx + c $ 的函数，其中 $ a \neq 0 $。求解二次方程的根通常使用求根公式：
$$
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
$$
根据判别式 $ D = b^2 - 4ac $ 的值，可以判断二次方程的根的个数：
- 当 $ D > 0 $，方程有两个不同的实数根；
- 当 $ D = 0 $，方程有一个实数根（即两个相同的实数根）；
- 当 $ D < 0 $，方程无实数根，只有两个共轭复数根。
因此，当判别式 $ D = 0 $ 时，二次函数的求根公式只有一个根，也称为“重根”或“相等根”。
一、
在二次函数中，若其对应的方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $ 只有一个根，则说明该方程有且仅有一个实数解。这种情况发生在判别式为零的情况下，即：
$$
b^2 - 4ac = 0
$$
此时，根的表达式变为：
$$
x = \frac{-b}{2a}
$$
这表示方程的两个根相同，因此我们说这个二次函数图像与 x 轴相切，只有一个交点。
这种情况下，二次函数的图像是一个抛物线，顶点恰好位于 x 轴上，没有其他交点。
二、表格展示
| 条件 | 判别式 $ D = b^2 - 4ac $ | 根的数量 | 根的性质 | 图像特征 |
| 有两个不同实数根 | $ D > 0 $ | 2 个 | 不同 | 与 x 轴有两个交点 |
| 有一个实数根（重根） | $ D = 0 $ | 1 个 | 相同 | 与 x 轴相切，仅一个交点 |
| 无实数根 | $ D < 0 $ | 0 个 | 共轭复数 | 与 x 轴无交点 |
三、实际应用举例
例如，对于方程 $ x^2 - 2x + 1 = 0 $，我们可以计算其判别式：
$$
D = (-2)^2 - 4(1)(1) = 4 - 4 = 0
$$
因此，该方程只有一个根：
$$
x = \frac{2}{2} = 1
$$
这说明该二次函数的图像在 $ x = 1 $ 处与 x 轴相切。
四、结论
二次函数求根公式只有一个根的条件是 判别式等于零，即 $ b^2 - 4ac = 0 $。在这种情况下，方程的两个根相同，函数图像与 x 轴相切，只有一个交点。这是二次函数中一种特殊的根的情况，具有重要的几何和代数意义。
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