【等差数列通项】在数学中，等差数列是一种常见的数列形式，其特点是每一项与前一项的差是一个常数。这个常数称为公差，通常用字母 $ d $ 表示。等差数列的通项公式是用于计算数列中任意一项值的重要工具。
一、等差数列的基本概念
- 定义：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差都是同一个常数，那么这样的数列叫做等差数列。
- 公差（d）：相邻两项的差，即 $ a_{n} - a_{n-1} = d $
- 首项（a₁）：数列的第一项
- 第n项（aₙ）：数列中的第n个数
二、等差数列通项公式
等差数列的第 $ n $ 项可以用以下公式表示：
$$
a_n = a_1 + (n - 1)d
$$
其中：
- $ a_n $ 表示第 $ n $ 项的值
- $ a_1 $ 是首项
- $ d $ 是公差
- $ n $ 是项数
三、通项公式的应用
通过通项公式，可以快速求出等差数列中的任意一项，也可以根据已知项反推出首项或公差。
例如：
- 已知首项 $ a_1 = 3 $，公差 $ d = 2 $，求第5项：
$$
a_5 = 3 + (5 - 1) \times 2 = 3 + 8 = 11
$$
- 已知第3项为 7，第6项为 16，求公差和首项：
$$
a_3 = a_1 + 2d = 7 \\
a_6 = a_1 + 5d = 16
$$
解方程组得：
$$
d = 3, \quad a_1 = 1
$$
四、常见问题与解答
| 问题 | 答案 |
| 什么是等差数列？ | 每一项与前一项的差为常数的数列 |
| 等差数列的通项公式是什么？ | $ a_n = a_1 + (n - 1)d $ |
| 如何求等差数列的公差？ | 公差是相邻两项之差，即 $ d = a_n - a_{n-1} $ |
| 如果知道某两项，如何求首项和公差？ | 建立方程组并解出未知数 |
五、总结
等差数列是数列中的一种基本类型，其通项公式 $ a_n = a_1 + (n - 1)d $ 是解决相关问题的核心工具。掌握该公式不仅可以帮助我们快速找到数列中的任意一项，还能用于推导其他相关性质。理解等差数列的结构和规律，有助于进一步学习更复杂的数列类型，如等比数列、递推数列等。
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