【所有的三角函数公式大全】在数学中，三角函数是研究三角形边角关系的重要工具，广泛应用于几何、物理、工程等多个领域。掌握所有常见的三角函数公式，有助于快速解决相关问题。本文将对常见的三角函数公式进行系统总结，并以表格形式呈现，便于查阅和记忆。
一、基本三角函数定义
设直角三角形中，角θ的对边为a，邻边为b，斜边为c，则：
| 函数名称 | 定义式 |
| 正弦（sin） | sinθ = a/c |
| 余弦（cos） | cosθ = b/c |
| 正切（tan） | tanθ = a/b |
| 余切（cot） | cotθ = b/a |
| 正割（sec） | secθ = c/b |
| 余割（csc） | cscθ = c/a |
二、三角函数的基本关系式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 倒数关系 | sinθ = 1/cscθ, cosθ = 1/secθ, tanθ = 1/cotθ |
| 商数关系 | tanθ = sinθ / cosθ, cotθ = cosθ / sinθ |
| 平方关系 | sin²θ + cos²θ = 1 |
| 1 + tan²θ = sec²θ | |
| 1 + cot²θ = csc²θ |
三、诱导公式（角度转换）
| 角度变换 | 对应的三角函数值 |
| sin(π/2 - θ) | cosθ |
| cos(π/2 - θ) | sinθ |
| sin(π - θ) | sinθ |
| cos(π - θ) | -cosθ |
| sin(π + θ) | -sinθ |
| cos(π + θ) | -cosθ |
| sin(2π - θ) | -sinθ |
| cos(2π - θ) | cosθ |
四、和差角公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| sin(A ± B) | sinAcosB ± cosAsinB |
| cos(A ± B) | cosAcosB ∓ sinAsinB |
| tan(A ± B) | (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanAtanB) |
五、倍角公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| sin(2A) | 2sinAcosA |
| cos(2A) | cos²A - sin²A = 2cos²A - 1 = 1 - 2sin²A |
| tan(2A) | 2tanA / (1 - tan²A) |
六、半角公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| sin(A/2) | ±√[(1 - cosA)/2] |
| cos(A/2) | ±√[(1 + cosA)/2] |
| tan(A/2) | ±√[(1 - cosA)/(1 + cosA)] = (sinA)/(1 + cosA) = (1 - cosA)/sinA |
七、积化和差公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| sinAcosB | [sin(A+B) + sin(A-B)] / 2 |
| cosAsinB | [sin(A+B) - sin(A-B)] / 2 |
| cosAcosB | [cos(A+B) + cos(A-B)] / 2 |
| sinAsinB | -[cos(A+B) - cos(A-B)] / 2 |
八、和差化积公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| sinA + sinB | 2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2] |
| sinA - sinB | 2cos[(A+B)/2]sin[(A-B)/2] |
| cosA + cosB | 2cos[(A+B)/2]cos[(A-B)/2] |
| cosA - cosB | -2sin[(A+B)/2]sin[(A-B)/2] |
九、反三角函数基本关系
| 函数名称 | 定义域 | 值域 |
| arcsin(x) | [-1, 1] | [-π/2, π/2] |
| arccos(x) | [-1, 1] | [0, π] |
| arctan(x) | (-∞, +∞) | (-π/2, π/2) |
| arccot(x) | (-∞, +∞) | (0, π) |
十、常用特殊角的三角函数值
| 角度（弧度） | sinθ | cosθ | tanθ |
| 0 | 0 | 1 | 0 |
| π/6 | 1/2 | √3/2 | 1/√3 |
| π/4 | √2/2 | √2/2 | 1 |
| π/3 | √3/2 | 1/2 | √3 |
| π/2 | 1 | 0 | 无定义 |
通过以上内容的整理，我们可以清晰地看到三角函数的各种公式及其应用场景。无论是初学者还是有一定基础的学习者，都可以根据需要灵活运用这些公式，提升解题效率与准确性。
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