【圆截直线的弦长公式】在解析几何中，圆与直线相交时，常常需要计算它们之间的弦长。弦长是圆被直线所截得的两点之间的距离。掌握这一公式的推导与应用，有助于解决许多几何问题。

本文将对“圆截直线的弦长公式”进行总结，并通过表格形式清晰展示其关键内容。

一、公式概述

当一条直线与一个圆相交时，若已知圆心坐标和半径，以及直线的一般方程，可以通过代数方法求出直线与圆的两个交点之间的距离，即为弦长。

设圆的标准方程为：

$$

(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2

$$

直线的一般方程为：

$$

Ax + By + C = 0

$$

则直线与圆的交点形成的弦长 $ L $ 可以用以下公式计算：

$$

L = 2\sqrt{r^2 - d^2}

$$

其中，$ d $ 是圆心到直线的距离，计算公式为：

$$

d = \frac{Aa + Bb + C}{\sqrt{A^2 + B^2}}

$$

二、公式推导思路（简要）

1. 求圆心到直线的距离：利用点到直线的距离公式。

2. 判断直线与圆的位置关系：

- 若 $ d > r $，直线与圆不相交；

- 若 $ d = r $，直线与圆相切；

- 若 $ d < r $，直线与圆相交于两点，形成弦。

3. 利用勾股定理求弦长：弦长由圆心到直线的距离和半径构成直角三角形，从而得出弦长公式。

三、关键参数对比表

四、实际应用示例

假设圆的方程为：

$$

x^2 + y^2 = 4 \quad \text{（即 } a=0, b=0, r=2 \text{）}

$$

直线方程为：

$$

x + y - 2 = 0

$$

- 圆心到直线的距离：

$$

d = \frac{0 + 0 - 2}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}

$$

- 弦长：

$$

L = 2\sqrt{2^2 - (\sqrt{2})^2} = 2\sqrt{4 - 2} = 2\sqrt{2}

$$

五、注意事项

- 公式适用于所有标准形式的圆和一般形式的直线。

- 当 $ d = 0 $ 时，直线经过圆心，此时弦长为直径，即 $ L = 2r $。

- 若 $ d = r $，则直线与圆相切，弦长为零。

六、总结

“圆截直线的弦长公式”是解析几何中的一个重要工具，能够帮助我们快速求解直线与圆相交时的弦长。通过理解圆心到直线的距离与半径的关系，可以直观地判断直线与圆的位置关系，并进一步计算弦长。掌握该公式不仅有助于数学学习，也在工程、物理等领域有广泛的应用价值。