【标准正态分布的公式】标准正态分布是统计学中最重要的概率分布之一，广泛应用于数据分析、假设检验和置信区间计算等领域。它是一种特殊的正态分布，其均值为0，标准差为1。了解标准正态分布的公式对于理解概率密度函数、累积分布函数以及相关统计方法具有重要意义。
一、标准正态分布的基本概念
标准正态分布（Standard Normal Distribution）是一个连续型概率分布，记作 $ Z \sim N(0, 1) $。它的特点是：
- 均值（μ）为 0
- 标准差（σ）为 1
- 对称于 y 轴
- 概率密度函数呈钟形曲线
在实际应用中，任何正态分布的数据都可以通过标准化转换为标准正态分布，从而方便进行比较和分析。
二、标准正态分布的概率密度函数（PDF）
标准正态分布的概率密度函数（PDF）公式如下：
$$
f(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{z^2}{2}}
$$
其中：
- $ z $ 是随机变量（即标准正态分布中的取值）
- $ e $ 是自然对数的底（约等于 2.71828）
- $ \pi $ 是圆周率（约等于 3.14159）
该函数描述了随机变量 $ Z $ 在某个值附近出现的概率密度。
三、标准正态分布的累积分布函数（CDF）
累积分布函数（CDF）表示的是随机变量小于或等于某个值 $ z $ 的概率，即：
$$
F(z) = P(Z \leq z) = \int_{-\infty}^{z} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{t^2}{2}} dt
$$
这个积分没有解析解，通常需要借助数值方法或查表来求得。
四、标准正态分布的关键特性
| 特性 | 描述 |
| 对称性 | 关于 $ z=0 $ 对称，$ f(-z) = f(z) $ |
| 总面积 | 曲线下总面积为 1，即概率总和为 1 |
| 均值与方差 | 均值为 0，方差为 1 |
| 分位点 | 如 $ z_{0.95} = 1.645 $ 表示有 95% 的概率落在 -1.645 到 +1.645 之间 |
五、常用分位点表（部分）
以下是一些常用的分位点值，用于统计推断和假设检验：
| 累积概率 | 对应的 z 值（标准正态分布） |
| 0.025 | -1.96 |
| 0.05 | -1.645 |
| 0.10 | -1.28 |
| 0.50 | 0 |
| 0.90 | 1.28 |
| 0.95 | 1.645 |
| 0.975 | 1.96 |
这些值常用于构造置信区间或进行显著性检验。
六、总结
标准正态分布是统计学的基础工具之一，其公式包括概率密度函数和累积分布函数。通过标准化变换，可以将任意正态分布转化为标准正态分布，便于统一分析和比较。掌握标准正态分布的公式及其特性，有助于更好地理解和应用统计方法。
如需进一步了解如何使用标准正态分布进行假设检验或计算置信区间，可参考相关的统计教材或在线资源。
