【全微分方程的通解例题】在微分方程的学习中，全微分方程是一种特殊的二阶微分方程，其形式为：
$$
M(x, y) \, dx + N(x, y) \, dy = 0
$$
若满足条件 $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$，则该方程为全微分方程，存在一个函数 $U(x, y)$，使得：
$$
dU = M(x, y) \, dx + N(x, y) \, dy
$$
因此，全微分方程的通解为：
$$
U(x, y) = C
$$
以下通过几个典型例题，总结全微分方程的求解过程与通解表达。
一、例题解析
例题1：
给定方程：
$$
(2x + y) \, dx + (x + 3y^2) \, dy = 0
$$
步骤1：验证是否为全微分方程
计算偏导数：
- $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(2x + y) = 1$
- $\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x + 3y^2) = 1$
因为 $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$，所以是全微分方程。
步骤2：构造函数 $U(x, y)$
设 $dU = (2x + y) \, dx + (x + 3y^2) \, dy$，则：
- $\frac{\partial U}{\partial x} = 2x + y$
- $\frac{\partial U}{\partial y} = x + 3y^2$
对第一个式子积分得：
$$
U(x, y) = \int (2x + y) \, dx = x^2 + xy + f(y)
$$
再对第二个式子求导：
$$
\frac{\partial U}{\partial y} = x + f'(y) = x + 3y^2 \Rightarrow f'(y) = 3y^2
\Rightarrow f(y) = y^3 + C
$$
所以：
$$
U(x, y) = x^2 + xy + y^3
$$
通解为：
$$
x^2 + xy + y^3 = C
$$
例题2：
给定方程：
$$
(3x^2 + 2xy) \, dx + (x^2 + 2y) \, dy = 0
$$
步骤1：验证是否为全微分方程
- $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(3x^2 + 2xy) = 2x$
- $\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x^2 + 2y) = 2x$
符合条件，为全微分方程。
步骤2：构造函数 $U(x, y)$
- $\frac{\partial U}{\partial x} = 3x^2 + 2xy$
- $\frac{\partial U}{\partial y} = x^2 + 2y$
对第一个式子积分：
$$
U(x, y) = \int (3x^2 + 2xy) \, dx = x^3 + x^2y + f(y)
$$
对第二个式子求导：
$$
\frac{\partial U}{\partial y} = x^2 + f'(y) = x^2 + 2y \Rightarrow f'(y) = 2y
\Rightarrow f(y) = y^2 + C
$$
所以：
$$
U(x, y) = x^3 + x^2y + y^2
$$
通解为：
$$
x^3 + x^2y + y^2 = C
$$
二、总结表格
| 题号 | 方程 | 是否全微分 | 构造函数 $U(x, y)$ | 通解 |
| 1 | $(2x + y)dx + (x + 3y^2)dy = 0$ | 是 | $x^2 + xy + y^3$ | $x^2 + xy + y^3 = C$ |
| 2 | $(3x^2 + 2xy)dx + (x^2 + 2y)dy = 0$ | 是 | $x^3 + x^2y + y^2$ | $x^3 + x^2y + y^2 = C$ |
通过以上例题可以看出，全微分方程的关键在于验证是否满足 $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$，然后通过积分和求导的方式构造出势函数 $U(x, y)$，从而得到通解。掌握这一方法有助于快速求解相关类型的微分方程。
