【前n项和公式是什么】在数学中，数列的“前n项和”是指一个数列从第一项开始到第n项的所有项相加的结果。不同的数列类型有不同的求和公式，掌握这些公式有助于快速计算数列的总和。
以下是几种常见数列的前n项和公式总结：
一、等差数列
等差数列是相邻两项的差为常数的数列。设首项为 $ a_1 $，公差为 $ d $，则前n项和公式为：
$$
S_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n - 1)d
$$
或也可以表示为：
$$
S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}
$$
其中，$ a_n = a_1 + (n - 1)d $
二、等比数列
等比数列是相邻两项的比为常数的数列。设首项为 $ a_1 $，公比为 $ r $（$ r \neq 1 $），则前n项和公式为：
$$
S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r}
$$
当 $ r = 1 $ 时，数列为常数列，此时：
$$
S_n = n \cdot a_1
$$
三、自然数列（等差数列的一种）
自然数列是首项为1，公差为1的等差数列，即：1, 2, 3, ..., n。其前n项和公式为：
$$
S_n = \frac{n(n + 1)}{2}
$$
四、平方数列
平方数列是各项为自然数的平方，即：1², 2², 3², ..., n²。其前n项和公式为：
$$
S_n = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}
$$
五、立方数列
立方数列是各项为自然数的立方，即：1³, 2³, 3³, ..., n³。其前n项和公式为：
$$
S_n = \left( \frac{n(n + 1)}{2} \right)^2
$$
常见数列前n项和公式对比表
| 数列类型 | 公式 | 说明 |
| 等差数列 | $ S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d] $ | 首项 $ a_1 $，公差 $ d $ |
| 等比数列 | $ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $ | 首项 $ a_1 $，公比 $ r \neq 1 $ |
| 自然数列 | $ S_n = \frac{n(n + 1)}{2} $ | 公差为1的等差数列 |
| 平方数列 | $ S_n = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} $ | 每项为 $ k^2 $ |
| 立方数列 | $ S_n = \left( \frac{n(n + 1)}{2} \right)^2 $ | 每项为 $ k^3 $ |
通过以上公式，可以快速计算不同数列的前n项和，是数学学习和实际应用中非常重要的工具。理解并熟练运用这些公式，有助于提高解题效率与逻辑思维能力。
