【对数函数习题及答案】在数学学习中，对数函数是一个重要的知识点，尤其在高中阶段的数学课程中占据着重要地位。掌握对数函数的基本性质和应用方法，有助于更好地理解指数函数、方程求解以及实际问题中的模型建立。以下是一些关于对数函数的练习题及其解答，帮助同学们巩固相关知识。

一、基础概念题

1. 求下列各对数值：

（1）$\log_2 8$

（2）$\log_{10} 100$

（3）$\log_3 \frac{1}{9}$

（4）$\log_5 1$

答案与解析：

（1）$\log_2 8 = \log_2 (2^3) = 3$

（2）$\log_{10} 100 = \log_{10} (10^2) = 2$

（3）$\log_3 \frac{1}{9} = \log_3 (3^{-2}) = -2$

（4）$\log_5 1 = 0$（因为任何数的0次幂都是1）

二、计算与化简题

2. 化简表达式：

$\log_2 16 + \log_2 \frac{1}{4}$

答案与解析：

$\log_2 16 = \log_2 (2^4) = 4$

$\log_2 \frac{1}{4} = \log_2 (2^{-2}) = -2$

所以原式为 $4 + (-2) = 2$

3. 计算：

$\log_3 9 + \log_3 27 - \log_3 81$

答案与解析：

$\log_3 9 = \log_3 (3^2) = 2$

$\log_3 27 = \log_3 (3^3) = 3$

$\log_3 81 = \log_3 (3^4) = 4$

因此，原式为 $2 + 3 - 4 = 1$

三、应用与综合题

4. 已知 $\log_a b = 2$，求 $\log_a b^3$ 的值。

答案与解析：

根据对数的性质：$\log_a b^3 = 3 \log_a b = 3 \times 2 = 6$

5. 若 $\log_2 x = 3$，求 $x$ 的值。

答案与解析：

$\log_2 x = 3$ 表示 $x = 2^3 = 8$

6. 解方程：

$\log_3 (x+2) = 2$

答案与解析：

将对数形式转化为指数形式：

$x + 2 = 3^2 = 9$

解得：$x = 9 - 2 = 7$

四、拓展与思考题

7. 已知 $\log_2 a = 3$，$\log_2 b = 5$，求 $\log_2 (a^2 b)$ 的值。

答案与解析：

$\log_2 (a^2 b) = \log_2 a^2 + \log_2 b = 2 \log_2 a + \log_2 b = 2 \times 3 + 5 = 6 + 5 = 11$

8. 已知 $\log_5 x = \log_5 y$，能否得出 $x = y$？为什么？

答案与解析：

可以得出 $x = y$。因为在对数函数中，若 $\log_b x = \log_b y$，则 $x = y$，前提是 $x > 0$ 且 $y > 0$，并且底数 $b > 0$ 且 $b \neq 1$。

五、总结

通过对数函数的学习，我们掌握了其基本定义、运算规则以及在实际问题中的应用。通过上述练习题，不仅可以加深对对数函数的理解，还能提升解题能力和逻辑思维能力。建议同学们多做类似题目，熟练掌握相关技巧，为后续学习打下坚实的基础。

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