【三角函数所有公式大全】在数学学习中，三角函数是基础而重要的内容之一，广泛应用于几何、物理、工程、计算机科学等多个领域。掌握三角函数的相关公式，不仅有助于解题效率的提升，还能加深对数学本质的理解。本文将系统整理和归纳常见的三角函数公式，帮助读者全面掌握这一知识点。
一、基本定义
三角函数通常以直角三角形为基础进行定义，也可以通过单位圆进行推广。以下是六种基本三角函数的定义：
- 正弦（sin）：对边与斜边的比值
$$
\sin\theta = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}}
$$
- 余弦（cos）：邻边与斜边的比值
$$
\cos\theta = \frac{\text{邻边}}{\text{斜边}}
$$
- 正切（tan）：对边与邻边的比值
$$
\tan\theta = \frac{\text{对边}}{\text{邻边}} = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}
$$
- 余切（cot）：邻边与对边的比值
$$
\cot\theta = \frac{\text{邻边}}{\text{对边}} = \frac{1}{\tan\theta}
$$
- 正割（sec）：斜边与邻边的比值
$$
\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}
$$
- 余割（csc）：斜边与对边的比值
$$
\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta}
$$
二、基本恒等式
三角函数之间存在许多相互关系，以下是一些常用的恒等式：
1. 平方恒等式：
$$
\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1
$$
$$
1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta
$$
$$
1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta
$$
2. 倒数关系：
$$
\sin\theta = \frac{1}{\csc\theta},\quad \cos\theta = \frac{1}{\sec\theta},\quad \tan\theta = \frac{1}{\cot\theta}
$$
3. 商数关系：
$$
\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta},\quad \cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}
$$
三、诱导公式
诱导公式用于将任意角度的三角函数转化为锐角的三角函数，适用于不同象限中的角度转换。
例如：
- $\sin(-\theta) = -\sin\theta$
- $\cos(-\theta) = \cos\theta$
- $\sin(\pi - \theta) = \sin\theta$
- $\cos(\pi - \theta) = -\cos\theta$
- $\sin(\pi + \theta) = -\sin\theta$
- $\cos(\pi + \theta) = -\cos\theta$
- $\sin(2\pi - \theta) = -\sin\theta$
- $\cos(2\pi - \theta) = \cos\theta$
这些公式可以帮助我们快速计算周期性函数的值。
四、和差角公式
这是三角函数中最常用的一类公式，用于计算两个角度之和或差的三角函数值。
1. 正弦的和差公式：
$$
\sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B
$$
2. 余弦的和差公式：
$$
\cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B
$$
3. 正切的和差公式：
$$
\tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B}
$$
五、倍角公式
倍角公式用于将角度加倍后的三角函数表达为原角度的函数形式。
1. 正弦的倍角公式：
$$
\sin 2A = 2\sin A \cos A
$$
2. 余弦的倍角公式：
$$
\cos 2A = \cos^2 A - \sin^2 A = 2\cos^2 A - 1 = 1 - 2\sin^2 A
$$
3. 正切的倍角公式：
$$
\tan 2A = \frac{2\tan A}{1 - \tan^2 A}
$$
六、半角公式
半角公式用于将一个角的一半表示为该角的三角函数形式。
1. 正弦的半角公式：
$$
\sin\left(\frac{A}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos A}{2}}
$$
2. 余弦的半角公式：
$$
\cos\left(\frac{A}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos A}{2}}
$$
3. 正切的半角公式：
$$
\tan\left(\frac{A}{2}\right) = \frac{\sin A}{1 + \cos A} = \frac{1 - \cos A}{\sin A}
$$
七、积化和差与和差化积公式
这些公式常用于简化复杂的三角函数运算。
1. 积化和差：
$$
\sin A \cos B = \frac{1}{2} [\sin(A + B) + \sin(A - B)]
$$
$$
\cos A \cos B = \frac{1}{2} [\cos(A + B) + \cos(A - B)]
$$
$$
\sin A \sin B = \frac{1}{2} [\cos(A - B) - \cos(A + B)]
$$
2. 和差化积：
$$
\sin A + \sin B = 2\sin\left(\frac{A + B}{2}\right)\cos\left(\frac{A - B}{2}\right)
$$
$$
\sin A - \sin B = 2\cos\left(\frac{A + B}{2}\right)\sin\left(\frac{A - B}{2}\right)
$$
$$
\cos A + \cos B = 2\cos\left(\frac{A + B}{2}\right)\cos\left(\frac{A - B}{2}\right)
$$
$$
\cos A - \cos B = -2\sin\left(\frac{A + B}{2}\right)\sin\left(\frac{A - B}{2}\right)
$$
八、反三角函数简介
反三角函数是三角函数的反函数，用于求解已知三角函数值对应的角度。
- $\arcsin x$：表示正弦值为 $x$ 的角度，范围为 $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$
- $\arccos x$：表示余弦值为 $x$ 的角度，范围为 $[0, \pi]$
- $\arctan x$：表示正切值为 $x$ 的角度，范围为 $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$
结语
三角函数作为数学的重要组成部分，其公式繁多但逻辑清晰，掌握这些公式不仅可以提高解题能力，还能增强对数学规律的认识。建议结合图形理解和实际应用来加深记忆，同时注意公式的适用范围和符号变化，避免误用。
希望本文能成为你学习三角函数的实用参考资料！
