【高数微积分公式大全】在高等数学的学习过程中，微积分是其中的核心内容之一。无论是微分、积分，还是相关的应用问题，掌握好基本的公式和定理是学好这门课程的关键。本文将系统整理常见的高数微积分公式，帮助学习者更好地理解和运用这些知识。
一、导数与微分公式
1. 基本导数公式
- $\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1}$
- $\frac{d}{dx} \sin x = \cos x$
- $\frac{d}{dx} \cos x = -\sin x$
- $\frac{d}{dx} \tan x = \sec^2 x$
- $\frac{d}{dx} \cot x = -\csc^2 x$
- $\frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x}$
- $\frac{d}{dx} e^x = e^x$
- $\frac{d}{dx} a^x = a^x \ln a$
2. 导数运算法则
- $(u \pm v)' = u' \pm v'$
- $(uv)' = u'v + uv'$
- $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$
- 链式法则：$(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$
3. 高阶导数
$$
y^{(n)} = \frac{d^n y}{dx^n}
$$
4. 隐函数求导
若 $F(x, y) = 0$，则 $\frac{dy}{dx} = -\frac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial y}}$
5. 参数方程求导
若 $x = x(t)$，$y = y(t)$，则 $\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$
二、积分公式
1. 不定积分基本公式
- $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$（$n \neq -1$）
- $\int \sin x dx = -\cos x + C$
- $\int \cos x dx = \sin x + C$
- $\int \tan x dx = -\ln |\cos x| + C$
- $\int \cot x dx = \ln |\sin x| + C$
- $\int \sec^2 x dx = \tan x + C$
- $\int \csc^2 x dx = -\cot x + C$
- $\int \frac{1}{x} dx = \ln |x| + C$
- $\int e^x dx = e^x + C$
- $\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$
2. 积分方法
- 换元积分法：$\int f(g(x))g'(x) dx = \int f(u) du$
- 分部积分法：$\int u dv = uv - \int v du$
- 有理函数分解：适用于多项式分式积分
- 三角代换：如 $x = a \sin t$、$x = a \tan t$ 等
3. 定积分
$$
\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)
$$
其中 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数。
4. 广义积分
- 当被积函数在区间内有无穷间断点时，可表示为极限形式
- 如 $\int_a^\infty f(x) dx = \lim_{t \to \infty} \int_a^t f(x) dx$
三、微积分中值定理
1. 罗尔定理
若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，且 $f(a) = f(b)$，则存在 $\xi \in (a, b)$，使得 $f'(\xi) = 0$。
2. 拉格朗日中值定理
若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，则存在 $\xi \in (a, b)$，使得
$$
f'(\xi) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}
$$
3. 柯西中值定理
若 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，且 $g'(x) \neq 0$，则存在 $\xi \in (a, b)$，使得
$$
\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} = \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}
$$
四、泰勒展开与麦克劳林公式
1. 泰勒公式
若 $f(x)$ 在 $x_0$ 处有 $n$ 阶导数，则
$$
f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x - x_0)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n + R_n
$$
其中 $R_n$ 为余项。
2. 麦克劳林公式
当 $x_0 = 0$ 时，泰勒展开称为麦克劳林公式：
$$
f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + R_n
$$
五、常见函数的泰勒展开
- $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$
- $\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots$
- $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots$
- $\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots$（$|x| < 1$）
六、应用问题中的微积分公式
1. 面积计算
曲线 $y = f(x)$ 从 $x=a$ 到 $x=b$ 所围成的面积为：
$$
A = \int_a^b f(x) dx
$$
2. 体积计算
绕 $x$ 轴旋转体的体积为：
$$
V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 dx
$$
3. 弧长公式
函数 $y = f(x)$ 在 $[a, b]$ 上的弧长为：
$$
L = \int_a^b \sqrt{1 + [f'(x)]^2} dx
$$
4. 物理应用
- 功：$W = \int F(x) dx$
- 质量：$m = \int \rho(x) dx$
- 压力：$P = \int \rho gh dA$
结语
微积分作为高等数学的重要组成部分，贯穿于数学、物理、工程等多个领域。掌握上述公式不仅有助于解题，更能提升对数学本质的理解。希望本文能为你的学习提供参考，助你更深入地理解微积分的魅力。
