在数学分析中，分段函数是一种常见的函数形式，其定义域被划分为若干部分，在每一部分上分别给出不同的表达式。由于分段函数在不同区间上的规则可能完全不同，因此对其求导时需要特别注意分段点处的连续性和可导性。本文将介绍几种常用的分段函数求导方法，并通过实例展示如何灵活应用这些技巧。
一、分段函数的基本概念
分段函数通常表示为：
\[ f(x) =
\begin{cases}
f_1(x), & x \in D_1; \\
f_2(x), & x \in D_2; \\
\vdots & \vdots \\
f_n(x), & x \in D_n,
\end{cases}
\]
其中 \(D_i\) 是定义域的子集，且 \(D_1 \cup D_2 \cup \cdots \cup D_n = D\)（即所有子集覆盖整个定义域）。为了确保函数在整个定义域内具有良好的性质，必须保证各段之间的衔接满足一定的条件，例如连续性和可导性。
二、分段函数求导的方法
方法1：逐段求导法
这是最直接的方法，即将分段函数看作由多个简单函数组成，对每一段分别求导即可。具体步骤如下：
1. 确定每一段的表达式；
2. 对每一段分别求导；
3. 验证分段点处的连续性与可导性。
例题：设函数
\[ f(x) =
\begin{cases}
x^2, & x < 0; \\
\sin x, & x \geq 0.
\end{cases}
\]
求 \(f'(x)\)。
解析：对于 \(x < 0\)，显然 \(f'(x) = 2x\)；对于 \(x > 0\)，有 \(f'(x) = \cos x\)。接下来检查 \(x=0\) 处的情况：
- 连续性：\(f(0^-) = 0^2 = 0\)，\(f(0^+) = \sin 0 = 0\)，故函数在 \(x=0\) 处连续；
- 可导性：左侧导数 \(f'_-(0) = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(0+h)-f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{h^2}{h} = 0\)；右侧导数 \(f'_+(0) = \lim_{h \to 0^+} \frac{\sin h - 0}{h} = \cos 0 = 1\)。因此，\(f'(x)\) 在 \(x=0\) 处不可导。
最终结果为：
\[ f'(x) =
\begin{cases}
2x, & x < 0; \\
\cos x, & x > 0.
\end{cases}
\]
方法2：利用极限定义求导
当分段函数的形式复杂或无法直接写出导数表达式时，可以借助导数的极限定义进行计算。这种方法尤其适用于分段点附近的特殊情况。
例题：设函数
\[ g(x) =
\begin{cases}
|x|, & x \neq 0; \\
0, & x = 0.
\end{cases}
\]
求 \(g'(x)\)。
解析：根据导数的定义：
\[ g'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{g(x+h)-g(x)}{h}. \]
对于 \(x > 0\)，有 \(g(x) = x\)，所以 \(g'(x) = 1\)；对于 \(x < 0\)，有 \(g(x) = -x\)，所以 \(g'(x) = -1\)。而在 \(x=0\) 处：
\[ g'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{|h|-0}{h}, \]
由于左右极限不相等（正向趋于0时极限为1，负向趋于0时极限为-1），可知 \(g'(0)\) 不存在。
结论为：
\[ g'(x) =
\begin{cases}
1, & x > 0; \\
-1, & x < 0.
\end{cases}
\]
方法3：结合几何意义求导
某些分段函数可以通过观察其图像来判断导数的存在性及其值。这种方法直观且高效，适合处理一些简单的分段函数问题。
例题：设函数
\[ h(x) =
\begin{cases}
-x + 1, & x < 1; \\
x^2 - 1, & x \geq 1.
\end{cases}
\]
求 \(h'(x)\)。
解析：从图像上看，\(h(x)\) 在 \(x<1\) 和 \(x>1\) 上分别为直线和抛物线，因此可以直接写出对应区间的导数：
\[ h'(x) =
\begin{cases}
-1, & x < 1; \\
2x, & x > 1.
\end{cases}
\]
再检查 \(x=1\) 处：
- 左侧导数 \(h'_-(1) = -1\)；
- 右侧导数 \(h'_+(1) = 2 \cdot 1 = 2\)。
显然，两侧导数不相等，故 \(h'(1)\) 不存在。
最终答案为：
\[ h'(x) =
\begin{cases}
-1, & x < 1; \\
2x, & x > 1.
\end{cases}
\]
三、总结
分段函数求导的关键在于明确分段点的位置以及各段函数的具体形式，同时需仔细验证分段点处的连续性和可导性。上述三种方法各有优劣，可根据实际情况选择合适的方式解决问题。希望读者能够通过本篇文章掌握分段函数求导的基本思路，并将其灵活运用于实际问题中。
参考文献
[1] 吴文俊. 数学分析[M]. 北京：高等教育出版社, 2006.
[2] 张筑生. 微积分讲义[M]. 北京：北京大学出版社, 2010.
