在数学分析中，赫尔德不等式（Hölder's inequality）与闵科夫斯基不等式（Minkowski's inequality）是两个重要的基本工具，广泛应用于积分理论、泛函分析以及概率论等领域。这两个不等式不仅揭示了函数空间中不同范数之间的关系，还为许多数学问题提供了理论支撑。
一、赫尔德不等式的证明
设 \( p > 1 \)，其共轭指数为 \( q = \frac{p}{p-1} \)，且 \( f, g \in L^p(\Omega) \cap L^q(\Omega) \)，其中 \( \Omega \) 是一个可测集合。赫尔德不等式表述如下：
\[
\int_\Omega |f(x)g(x)| dx \leq \|f\|_p \|g\|_q,
\]
其中 \( \|f\|_p = \left( \int_\Omega |f(x)|^p dx \right)^{\frac{1}{p}} \) 和 \( \|g\|_q = \left( \int_\Omega |g(x)|^q dx \right)^{\frac{1}{q}} \) 分别表示 \( f \) 和 \( g \) 在 \( L^p \) 和 \( L^q \) 空间的范数。
证明过程：
1. 预备步骤：利用凸性性质构造辅助函数。考虑函数 \( \phi(t) = t^p - pt + p-1 \)，其中 \( t > 0 \)。通过计算导数可以验证该函数在 \( t=1 \) 处取得最小值，并满足 \( \phi(t) \geq 0 \) 对所有 \( t > 0 \) 成立。
2. 应用Young不等式：对于任意非负实数 \( a, b \)，有
\[
ab \leq \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}.
\]
这一结果可以直接由上述构造的凸函数得到。
3. 代入具体形式：令 \( a = \frac{|f(x)|}{\|f\|_p} \)，\( b = \frac{|g(x)|}{\|g\|_q} \)，则
\[
\frac{|f(x)||g(x)|}{\|f\|_p \|g\|_q} \leq \frac{|f(x)|^p}{p \|f\|_p^p} + \frac{|g(x)|^q}{q \|g\|_q^q}.
\]
4. 积分两边：对上式进行积分，并注意到 \( \int_\Omega \frac{|f(x)|^p}{\|f\|_p^p} dx = 1 \) 以及 \( \int_\Omega \frac{|g(x)|^q}{\|g\|_q^q} dx = 1 \)，最终得出
\[
\int_\Omega |f(x)g(x)| dx \leq \|f\|_p \|g\|_q.
\]
二、闵科夫斯基不等式的证明
闵科夫斯基不等式表明，对于 \( p \geq 1 \)，若 \( f, g \in L^p(\Omega) \)，则
\[
\|f+g\|_p \leq \|f\|_p + \|g\|_p.
\]
证明思路：
1. 展开定义：首先写出 \( \|f+g\|_p \) 的定义：
\[
\|f+g\|_p^p = \int_\Omega |f(x)+g(x)|^p dx.
\]
2. 利用三角不等式：由于绝对值函数满足三角不等式 \( |x+y|^p \leq (|x|+|y|)^p \)，因此
\[
|f(x)+g(x)|^p \leq \left( |f(x)|+|g(x)| \right)^p.
\]
3. 应用赫尔德不等式：将右侧表达式拆分为两项，分别用赫尔德不等式处理。设 \( r = \frac{p}{p-1} \)，则
\[
\int_\Omega |f(x)| \cdot |f(x)+g(x)|^{p-1} dx \leq \|f\|_p \left( \int_\Omega |f(x)+g(x)|^p dx \right)^{\frac{p-1}{p}},
\]
类似地对另一项也成立。
4. 合并结果：将两部分合并后整理，即可得到
\[
\|f+g\|_p^p \leq (\|f\|_p + \|g\|_p)^p,
\]
开 \( p \)-次方后即得所需结论。
以上便是赫尔德不等式与闵科夫斯基不等式的完整证明过程。这两个不等式不仅是理论研究的基础，也是解决实际问题的重要手段，在现代数学中占据着不可替代的地位。
