求下列函数的定义域

在数学中，函数的定义域是指使得函数有意义的所有自变量取值范围。正确确定函数的定义域是解决数学问题的重要一步。本文将通过几个典型的例子来演示如何求解不同类型的函数定义域。

首先，我们来看一个简单的分式函数：

$$ f(x) = \frac{1}{x-3} $$

对于分式函数，分母不能为零。因此，我们需要令分母 $ x-3 \neq 0 $，从而得出 $ x \neq 3 $。因此，该函数的定义域为：

$$ D_f = (-\infty, 3) \cup (3, +\infty) $$

接下来，考虑一个涉及平方根的函数：

$$ g(x) = \sqrt{x+5} $$

对于平方根函数，被开方数必须非负。因此，我们需要 $ x+5 \geq 0 $，即 $ x \geq -5 $。所以，该函数的定义域为：

$$ D_g = [-5, +\infty) $$

再看一个对数函数的例子：

$$ h(x) = \log_2(x-1) $$

对数函数要求真数大于零。因此，我们需要 $ x-1 > 0 $，即 $ x > 1 $。于是，该函数的定义域为：

$$ D_h = (1, +\infty) $$

最后，我们分析一个复合函数：

$$ k(x) = \sqrt{\log_{1/2}(x^2-4)} $$

这类函数需要同时满足平方根和对数的条件。首先，对数部分要求 $ x^2-4 > 0 $，即 $ x < -2 $ 或 $ x > 2 $。其次，平方根要求 $ \log_{1/2}(x^2-4) \geq 0 $，即 $ x^2-4 \leq 1 $。结合以上两个条件，最终得到：

$$ D_k = (-2, -\sqrt{3}] \cup (\sqrt{3}, 2) $$

通过以上几个例子可以看出，求函数定义域的关键在于分析函数的具体形式，并逐一满足其限制条件。希望这些方法能帮助大家更好地理解和解决类似问题。