【数学期望和方差之间有什么公式】在概率论与统计学中，数学期望和方差是描述随机变量特征的两个重要指标。它们之间既有联系，又有区别。理解它们之间的关系有助于更深入地分析数据和进行统计推断。
一、基本概念
| 概念 | 定义 |
| 数学期望 | 随机变量在所有可能取值上的加权平均，反映其“中心位置”。 |
| 方差 | 表示随机变量与其数学期望之间的偏离程度，反映数据的“离散程度”。 |
二、数学期望与方差的关系
数学期望（记为 $ E(X) $）和方差（记为 $ \text{Var}(X) $）之间存在一个核心公式：
$$
\text{Var}(X) = E[(X - E(X))^2] = E(X^2) - [E(X)]^2
$$
这个公式表明，方差等于随机变量平方的期望减去数学期望的平方。
三、常见随机变量的期望与方差
以下是一些常见分布的期望与方差公式：
| 分布类型 | 数学期望 $ E(X) $ | 方差 $ \text{Var}(X) $ |
| 二项分布 $ B(n, p) $ | $ np $ | $ np(1-p) $ |
| 泊松分布 $ P(\lambda) $ | $ \lambda $ | $ \lambda $ |
| 正态分布 $ N(\mu, \sigma^2) $ | $ \mu $ | $ \sigma^2 $ |
| 均匀分布 $ U(a, b) $ | $ \frac{a + b}{2} $ | $ \frac{(b - a)^2}{12} $ |
| 指数分布 $ \text{Exp}(\lambda) $ | $ \frac{1}{\lambda} $ | $ \frac{1}{\lambda^2} $ |
四、总结
- 数学期望是随机变量的平均值，代表其集中趋势。
- 方差是随机变量与其均值的偏离程度，反映其离散程度。
- 两者之间的关系由公式：
$$
\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2
$$
- 不同分布的期望与方差各有特点，掌握这些公式有助于实际问题的建模与分析。
通过理解这些基本概念及其相互关系，我们可以更好地运用概率统计工具解决现实中的问题。
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