【泰勒展开式常用10个公式】泰勒展开式是数学分析中的重要工具，广泛应用于微积分、物理、工程等领域。它通过将一个函数在某一点附近用无限多项式的形式进行近似表示，从而便于计算和分析。以下是常见的10个泰勒展开式公式，适用于不同函数在不同点的展开。
一、总结说明
泰勒展开式的标准形式为：
$$
f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + \cdots
$$
其中，$ a $ 是展开点，当 $ a=0 $ 时，称为麦克劳林级数（Maclaurin series）。以下列出的是在 $ x=0 $ 处的常见泰勒展开式（即麦克劳林展开），适用于各类基本初等函数。
二、常用10个泰勒展开式公式
| 序号 | 函数表达式 | 泰勒展开式（在 $ x=0 $ 处） | 收敛区间 | ||
| 1 | $ e^x $ | $ 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots $ | $ (-\infty, +\infty) $ | ||
| 2 | $ \sin x $ | $ x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots $ | $ (-\infty, +\infty) $ | ||
| 3 | $ \cos x $ | $ 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots $ | $ (-\infty, +\infty) $ | ||
| 4 | $ \ln(1+x) $ | $ x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots $ | $ -1 < x \leq 1 $ | ||
| 5 | $ \arctan x $ | $ x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots $ | $ -1 \leq x \leq 1 $ | ||
| 6 | $ (1+x)^k $ | $ 1 + kx + \frac{k(k-1)}{2!}x^2 + \frac{k(k-1)(k-2)}{3!}x^3 + \cdots $ | $ | x | < 1 $ |
| 7 | $ \sinh x $ | $ x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots $ | $ (-\infty, +\infty) $ | ||
| 8 | $ \cosh x $ | $ 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots $ | $ (-\infty, +\infty) $ | ||
| 9 | $ \tan x $ | $ x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \cdots $ | $ | x | < \frac{\pi}{2} $ |
| 10 | $ \log(1+x) $ | $ x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots $ | $ -1 < x \leq 1 $ |
三、小结
以上10个泰勒展开式涵盖了指数函数、三角函数、反三角函数、对数函数、双曲函数以及广义二项式展开等常见类型。掌握这些公式有助于在实际问题中进行近似计算、求解微分方程或进行数值分析。
在使用这些公式时，需注意其收敛区间，以确保展开结果的有效性。对于某些特殊函数或高阶项，可能需要借助计算机代数系统进行更精确的展开与验证。
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