【数学投影的公式】在数学中，投影是一种将向量或几何对象映射到另一个空间（如直线、平面或更高维空间）的操作。投影在解析几何、线性代数和物理学中有着广泛的应用，尤其是在处理向量方向关系时非常有用。以下是对常见数学投影公式的总结。

一、向量投影

向量投影是将一个向量沿着另一个向量的方向进行“压缩”或“映射”的过程。其基本公式如下：

1. 向量在另一向量上的投影长度

设向量 a 和 b，则 a 在 b 上的投影长度为：

$$

\text{proj}_{\mathbf{b}} \mathbf{a} = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\mathbf{b}}

$$

其中：

- $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$ 是向量 a 与 b 的点积；

- $\mathbf{b}$ 是向量 b 的模长。

2. 向量在另一向量上的投影向量

投影向量为：

$$

\text{proj}_{\mathbf{b}} \mathbf{a} = \left( \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\mathbf{b}^2} \right) \mathbf{b}

$$

二、点在直线上的投影

设直线由点 P0 和方向向量 v 确定，点 P 到该直线的投影点 Q 可以通过以下步骤计算：

1. 向量 $\mathbf{v} = P - P_0$

2. 投影参数 $t = \frac{(\mathbf{P} - \mathbf{P_0}) \cdot \mathbf{v}}{\mathbf{v}^2}$

3. 投影点 $Q = P_0 + t \cdot \mathbf{v}$

三、点在平面上的投影

设平面由点 P0 和法向量 n 确定，点 P 到该平面的投影点 Q 可以通过以下方式计算：

1. 计算向量 $\mathbf{v} = P - P_0$

2. 投影参数 $t = \frac{\mathbf{v} \cdot \mathbf{n}}{\mathbf{n}^2}$

3. 投影点 $Q = P - t \cdot \mathbf{n}$

四、矩阵投影（正交投影）

在高维空间中，正交投影常用于将向量投影到一个子空间上。若矩阵 A 的列向量构成一个基，则向量 b 在由 A 张成的空间上的投影为：

$$

\text{proj}_A \mathbf{b} = A(A^T A)^{-1} A^T \mathbf{b}

$$

五、常用投影公式总结表

结语

数学中的投影公式是理解几何关系和向量操作的重要工具。无论是在工程、计算机图形学还是理论物理中，掌握这些公式都能帮助我们更准确地描述和分析空间中的对象。通过上述总结和表格，可以快速查阅和应用各种投影公式。

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