【等价无穷小的表示】在高等数学中，等价无穷小是一个非常重要的概念，尤其在极限计算和泰勒展开中有着广泛的应用。等价无穷小指的是当自变量趋近于某个值时，两个无穷小量之间的比值趋于1。这种关系可以简化复杂的极限运算，提高计算效率。
本文将对常见的等价无穷小进行总结，并以表格形式展示其表达方式和适用条件。
一、等价无穷小的基本定义
设函数 $ f(x) $ 和 $ g(x) $ 在 $ x \to x_0 $ 时均为无穷小（即 $\lim_{x \to x_0} f(x) = 0$ 且 $\lim_{x \to x_0} g(x) = 0$），若
$$
\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = 1,
$$
则称 $ f(x) $ 与 $ g(x) $ 是等价无穷小，记作：
$$
f(x) \sim g(x) \quad (x \to x_0).
$$
二、常见等价无穷小的表示
以下是一些在 $ x \to 0 $ 时常用的等价无穷小关系，适用于初等函数和三角函数：
| 函数表达式 | 等价无穷小表达式 | 说明 |
| $ \sin x $ | $ x $ | 当 $ x \to 0 $ 时成立 |
| $ \tan x $ | $ x $ | 当 $ x \to 0 $ 时成立 |
| $ \arcsin x $ | $ x $ | 当 $ x \to 0 $ 时成立 |
| $ \arctan x $ | $ x $ | 当 $ x \to 0 $ 时成立 |
| $ \ln(1 + x) $ | $ x $ | 当 $ x \to 0 $ 时成立 |
| $ e^x - 1 $ | $ x $ | 当 $ x \to 0 $ 时成立 |
| $ 1 - \cos x $ | $ \frac{x^2}{2} $ | 当 $ x \to 0 $ 时成立 |
| $ \sqrt{1 + x} - 1 $ | $ \frac{x}{2} $ | 当 $ x \to 0 $ 时成立 |
| $ a^x - 1 $ | $ x \ln a $ | 当 $ x \to 0 $ 时成立（$ a > 0, a \neq 1 $） |
| $ \sinh x $ | $ x $ | 当 $ x \to 0 $ 时成立 |
| $ \cosh x - 1 $ | $ \frac{x^2}{2} $ | 当 $ x \to 0 $ 时成立 |
三、使用注意事项
1. 适用范围：上述等价关系仅在 $ x \to 0 $ 时成立，若用于其他点（如 $ x \to 1 $ 或 $ x \to \infty $），需重新推导或验证。
2. 替换原则：在极限计算中，可以用等价无穷小代替原函数，但必须确保替换后的函数在相同极限下仍然有效。
3. 高阶无穷小：有时需要考虑更高阶的项，例如 $ \sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3) $，此时不能简单用 $ x $ 替代整个表达式。
四、应用举例
例如，求极限：
$$
\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}.
$$
由于 $ \sin x \sim x $，所以：
$$
\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x} = 1.
$$
再如：
$$
\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}.
$$
因为 $ 1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2} $，所以：
$$
\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^2}{2}}{x^2} = \frac{1}{2}.
$$
五、总结
等价无穷小是处理极限问题的重要工具，能够显著简化运算过程。掌握常见函数的等价无穷小关系，有助于快速判断极限的值，并提高解题效率。通过表格形式的整理，可以更清晰地了解各类函数的等价表达方式及其适用范围。
在实际应用中，还需结合具体问题灵活运用，并注意等价无穷小的适用条件，避免错误替换导致结果偏差。
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