【三角函数公式大全】在数学中，三角函数是研究三角形边角关系的重要工具，广泛应用于几何、物理、工程、计算机科学等多个领域。掌握常见的三角函数公式，有助于我们更高效地解决相关问题。本文将对常用的三角函数公式进行总结，并以表格形式呈现，便于查阅和记忆。
一、基本三角函数定义
设直角三角形中，角θ的对边为a，邻边为b，斜边为c，则：
| 函数名称 | 定义式 |
| 正弦（sin） | sinθ = a / c |
| 余弦（cos） | cosθ = b / c |
| 正切（tan） | tanθ = a / b |
| 余切（cot） | cotθ = b / a |
| 正割（sec） | secθ = c / b |
| 余割（csc） | cscθ = c / a |
二、三角函数的基本关系
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 倒数关系 | sinθ = 1 / cscθ；cosθ = 1 / secθ；tanθ = 1 / cotθ |
| 商数关系 | tanθ = sinθ / cosθ；cotθ = cosθ / sinθ |
| 平方关系 | sin²θ + cos²θ = 1；1 + tan²θ = sec²θ；1 + cot²θ = csc²θ |
三、诱导公式（角度转换）
| 角度变换 | 对应的三角函数值 |
| sin(π/2 - θ) | cosθ |
| cos(π/2 - θ) | sinθ |
| sin(π - θ) | sinθ |
| cos(π - θ) | -cosθ |
| sin(π + θ) | -sinθ |
| cos(π + θ) | -cosθ |
| sin(-θ) | -sinθ |
| cos(-θ) | cosθ |
四、和差角公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 正弦和差公式 | sin(A ± B) = sinA cosB ± cosA sinB |
| 余弦和差公式 | cos(A ± B) = cosA cosB ∓ sinA sinB |
| 正切和差公式 | tan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanA tanB) |
五、倍角与半角公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 正弦倍角公式 | sin2θ = 2 sinθ cosθ |
| 余弦倍角公式 | cos2θ = cos²θ - sin²θ = 2cos²θ - 1 = 1 - 2sin²θ |
| 正切倍角公式 | tan2θ = 2 tanθ / (1 - tan²θ) |
| 正弦半角公式 | sin(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/2] |
| 余弦半角公式 | cos(θ/2) = ±√[(1 + cosθ)/2] |
| 正切半角公式 | tan(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/(1 + cosθ)] |
六、积化和差与和差化积公式
| 公式类型 | 公式表达式 |
| 积化和差公式 | sinA cosB = [sin(A+B) + sin(A-B)] / 2 |
| cosA sinB = [sin(A+B) - sin(A-B)] / 2 | |
| cosA cosB = [cos(A+B) + cos(A-B)] / 2 | |
| sinA sinB = [cos(A-B) - cos(A+B)] / 2 | |
| 和差化积公式 | sinA + sinB = 2 sin[(A+B)/2] cos[(A-B)/2] |
| sinA - sinB = 2 cos[(A+B)/2] sin[(A-B)/2] | |
| cosA + cosB = 2 cos[(A+B)/2] cos[(A-B)/2] | |
| cosA - cosB = -2 sin[(A+B)/2] sin[(A-B)/2] |
七、常用特殊角的三角函数值
| 角度（弧度） | 0 | π/6 | π/4 | π/3 | π/2 |
| sinθ | 0 | 1/2 | √2/2 | √3/2 | 1 |
| cosθ | 1 | √3/2 | √2/2 | 1/2 | 0 |
| tanθ | 0 | 1/√3 | 1 | √3 | 不存在 |
总结
三角函数公式是数学学习中的基础内容，掌握这些公式不仅能提高解题效率，还能帮助我们在实际问题中灵活运用。通过表格的形式整理各类公式，有助于系统性地理解和记忆。建议在学习过程中结合图形理解，增强直观感受，同时多做练习题巩固知识。
如需进一步了解三角函数的应用或进阶公式，可参考相关教材或在线资源。
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