【如何求arctanx的积分】在数学中，求函数的积分是常见的问题之一。对于反三角函数如 $ \arctan x $，其积分方法需要一定的技巧，通常使用分部积分法。下面将详细说明如何求 $ \int \arctan x \, dx $，并以总结加表格的形式展示关键步骤与结果。

一、积分思路

要计算 $ \int \arctan x \, dx $，我们可以使用分部积分法，即：

$$

\int u \, dv = uv - \int v \, du

$$

我们设：

- $ u = \arctan x $

- $ dv = dx $

则：

- $ du = \frac{1}{1 + x^2} dx $

- $ v = x $

代入分部积分公式：

$$

\int \arctan x \, dx = x \arctan x - \int \frac{x}{1 + x^2} dx

$$

接下来，只需计算 $ \int \frac{x}{1 + x^2} dx $，这可以通过换元法完成。

令 $ t = 1 + x^2 $，则 $ dt = 2x dx $，即 $ x dx = \frac{dt}{2} $，所以：

$$

\int \frac{x}{1 + x^2} dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{t} dt = \frac{1}{2} \ln t + C = \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C

$$

因此，最终结果为：

$$

\int \arctan x \, dx = x \arctan x - \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C

$$

二、总结与表格

三、结论

通过分部积分和换元法的结合，我们成功地求出了 $ \arctan x $ 的不定积分。这个过程不仅展示了积分的基本技巧，也体现了对函数结构的理解。掌握这类积分方法，有助于解决更复杂的积分问题。

以上就是【如何求arctanx的积分】相关内容，希望对您有所帮助。