【复合函数必背公式】在高中数学中，复合函数是一个非常重要的知识点，尤其在函数的性质、导数和图像分析中广泛应用。掌握复合函数的基本概念和常用公式，有助于提高解题效率和理解能力。本文将对复合函数的常见公式进行总结，并以表格形式呈现，便于记忆与查阅。
一、复合函数的基本概念
复合函数是由两个或多个函数通过“嵌套”方式组合而成的函数。设函数 $ y = f(u) $ 和 $ u = g(x) $，那么它们的复合函数为：
$$
y = f(g(x))
$$
其中，$ g(x) $ 是外层函数的输入，$ f(u) $ 是内层函数的结果。这种结构在数学中被称为“函数的复合”。
二、复合函数的必背公式总结
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 |
| 复合函数定义 | $ (f \circ g)(x) = f(g(x)) $ | 表示先对 $ x $ 应用 $ g $，再对结果应用 $ f $ |
| 反函数的复合 | $ f^{-1}(f(x)) = x $, $ f(f^{-1}(x)) = x $ | 若 $ f $ 存在反函数，则两者复合后等于原变量 |
| 复合函数的导数（链式法则） | $ \frac{d}{dx} [f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x) $ | 导数的计算方法，需先求外层函数的导数，再乘以内层函数的导数 |
| 复合函数的单调性 | 若 $ f $ 与 $ g $ 同增减，则 $ f(g(x)) $ 单调；若一增一减，则 $ f(g(x)) $ 单调性相反 | 判断复合函数的增减性 |
| 复合函数的奇偶性 | 若 $ f $ 为偶函数，且 $ g(x) $ 为偶函数，则 $ f(g(x)) $ 为偶函数 | 奇偶性的判断依据 |
| 复合函数的周期性 | 若 $ f $ 是周期函数，$ g(x) $ 是周期函数，则 $ f(g(x)) $ 的周期可能与两者有关 | 需结合具体函数分析 |
| 复合函数的定义域 | $ D_{f \circ g} = \{x \in D_g \mid g(x) \in D_f\} $ | 定义域是满足 $ g(x) $ 在 $ f $ 的定义域内的所有 $ x $ |
三、典型例题解析
例1：
已知 $ f(x) = x^2 + 1 $，$ g(x) = 2x - 3 $，求 $ f(g(x)) $。
解：
$$
f(g(x)) = f(2x - 3) = (2x - 3)^2 + 1 = 4x^2 - 12x + 9 + 1 = 4x^2 - 12x + 10
$$
例2：
设 $ f(x) = \sqrt{x} $，$ g(x) = x^2 $，求 $ f(g(x)) $ 的定义域。
解：
由于 $ g(x) = x^2 \geq 0 $，而 $ f(x) = \sqrt{x} $ 的定义域为 $ x \geq 0 $，所以 $ f(g(x)) = \sqrt{x^2} $ 的定义域为全体实数 $ \mathbb{R} $。
四、总结
复合函数是数学中一个基础但重要的内容，掌握其基本公式和性质对于解决复杂问题至关重要。通过上述表格和例题，可以系统地理解复合函数的结构、运算规则以及应用方法。建议在学习过程中多做练习，加深对复合函数的理解和运用能力。
复合函数必背公式，不仅是考试中的高频考点，也是进一步学习微积分、函数变换等知识的基础。希望本文能帮助你更好地掌握这一部分内容。
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