【不等式综合练习题】在数学学习中，不等式是一个重要的知识点，广泛应用于代数、几何以及实际问题的分析中。为了帮助同学们更好地掌握不等式的相关知识，本文将提供一套综合性较强的不等式练习题，涵盖一元一次不等式、一元二次不等式、分式不等式以及简单的线性规划等内容，旨在提升学生的解题能力与逻辑思维水平。

一、选择题（每题5分，共20分）

1. 不等式 $ 3x - 5 > 7 $ 的解集是（ ）

A. $ x > 4 $

B. $ x < 4 $

C. $ x > 2 $

D. $ x < 2 $

2. 不等式 $ x^2 - 4x + 3 \leq 0 $ 的解集是（ ）

A. $ (1, 3) $

B. $ [1, 3] $

C. $ (-\infty, 1) \cup (3, +\infty) $

D. $ (-\infty, 1] \cup [3, +\infty) $

3. 若 $ \frac{1}{x} > 2 $，则 $ x $ 的取值范围是（ ）

A. $ 0 < x < \frac{1}{2} $

B. $ x > \frac{1}{2} $

C. $ x < 0 $

D. $ x < \frac{1}{2} $

4. 已知 $ a > b $，且 $ c > 0 $，下列不等式一定成立的是（ ）

A. $ ac < bc $

B. $ a + c < b + c $

C. $ a - c > b - c $

D. $ \frac{a}{c} < \frac{b}{c} $

二、填空题（每题5分，共20分）

5. 不等式 $ 2x + 3 \geq 5 $ 的解集为 __________。

6. 不等式 $ x^2 - 9 < 0 $ 的解集为 __________。

7. 若 $ \frac{x - 1}{x + 2} \leq 0 $，则 $ x $ 的取值范围是 __________。

8. 若 $ x > y $，且 $ x + y = 5 $，则 $ x $ 的取值范围是 __________。

三、解答题（每题10分，共40分）

9. 解不等式：$ \frac{2x - 1}{3} \geq \frac{x + 1}{2} $

10. 解不等式组：

$$

\begin{cases}

2x - 3 < 5 \\

x + 4 \geq 1

\end{cases}

$$

11. 解不等式 $ x^2 - 5x + 6 > 0 $，并画出其解集在数轴上的表示。

12. 某工厂生产甲、乙两种产品，每件甲产品需耗电2度，乙产品需耗电3度。该厂每天最多可用电100度。若甲产品利润为5元/件，乙产品利润为8元/件，问如何安排生产使利润最大？（设甲产品生产 $ x $ 件，乙产品生产 $ y $ 件）

四、拓展题（10分）

13. 已知实数 $ a $、$ b $ 满足 $ a + b = 1 $，求 $ ab $ 的最大值，并说明何时取得最大值。

参考答案（供教师或学生自检使用）

1. A

2. B

3. A

4. C

5. $ x \geq 1 $

6. $ -3 < x < 3 $

7. $ -2 < x \leq 1 $

8. $ x > \frac{5}{2} $

9. $ x \geq 5 $

10. $ -3 \leq x < 4 $

11. $ x < 2 $ 或 $ x > 3 $，数轴上表示为两个区间

12. 最大利润为 $ 250 $ 元，当 $ x = 0 $，$ y = 33 $ 时取得

13. 最大值为 $ \frac{1}{4} $，当 $ a = b = \frac{1}{2} $ 时取得

通过本套练习题的训练，可以帮助学生系统地复习和巩固不等式相关的知识点，提高分析问题和解决问题的能力。建议在解题过程中注重步骤的规范性和逻辑的严密性，逐步培养良好的数学思维习惯。