【垂径定理经典练习题】垂径定理是初中几何中一个非常重要的知识点，它在圆的相关问题中有着广泛的应用。掌握好垂径定理，不仅能帮助我们解决一些基本的几何问题，还能为后续学习圆的其他性质打下坚实的基础。
一、什么是垂径定理？
垂径定理指的是：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。换句话说，如果一条直径垂直于某条弦，那么这条直径会将这条弦分成两条相等的部分，并且也会将弦所对应的两个弧分成相等的部分。
这个定理可以用来证明线段相等、弧长相等，也可以用于求解圆中的一些长度和角度问题。
二、垂径定理的几个关键点
1. 前提条件：必须有一条直径与一条弦垂直。
2. 结论：
- 直径平分这条弦；
- 直径平分这条弦所对的弧；
- 由此可推导出弦的长度、弧长、圆心角等信息。
三、典型例题解析
例题1：
已知圆O中，弦AB的长度为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求圆O的半径。
解析：
设圆心O到弦AB的垂足为C，则OC⊥AB，且AC = CB = 4cm。
根据勾股定理，在直角三角形OAC中：
$$
OA^2 = OC^2 + AC^2 \\
OA^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \\
OA = \sqrt{25} = 5 \text{ cm}
$$
所以，圆O的半径为5cm。
例题2：
如图，圆O中，弦CD被直径AB垂直平分于点E，若CE=3cm，OE=4cm，求圆O的半径。
解析：
因为AB垂直平分CD，所以AE = BE，CE = ED = 3cm，因此CD = 6cm。
在直角三角形OEC中，利用勾股定理：
$$
OC^2 = OE^2 + CE^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25 \\
OC = \sqrt{25} = 5 \text{ cm}
$$
因此，圆O的半径为5cm。
四、常见误区与注意事项
- 垂径定理中的“直径”必须是垂直于弦的那条直径，不能随意使用其他直径；
- 在实际应用中，要注意题目中给出的信息是否满足垂径定理的前提条件；
- 如果没有明确说明哪条直径垂直于哪条弦，应通过作图或推理来确定；
- 垂径定理可以与其他几何知识（如相似三角形、勾股定理等）结合使用，提高解题效率。
五、练习题推荐
1. 圆O中，弦AB的长度为10cm，圆心O到AB的距离为6cm，求圆O的半径。
2. 已知圆O中，弦CD被直径EF垂直平分于点G，若CG=5cm，OG=12cm，求圆O的半径。
3. 如图，圆O中，弦AB与弦CD相交于点E，且OE垂直于AB，求证：AE=BE。
六、总结
垂径定理是圆中一个基础但极其重要的定理，灵活运用它可以帮助我们快速解决许多几何问题。通过多做练习题，加深对定理的理解，才能真正掌握它的精髓。
希望这篇关于“垂径定理经典练习题”的内容能够帮助你更好地理解和应用这一几何知识！
