【线性代数课后习题与答案】在学习线性代数的过程中，课后习题是巩固知识、提高解题能力的重要环节。通过认真完成和思考这些题目，学生不仅能够加深对概念的理解，还能提升逻辑思维和数学运算的能力。本文将围绕一些典型的线性代数课后习题进行分析，并提供相应的解答思路，帮助学习者更好地掌握相关知识点。
一、矩阵运算
题目：
计算下列矩阵的乘积：
$$
A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix}
$$
解答：
矩阵乘法遵循“行乘列”的规则，即第一个矩阵的行与第二个矩阵的列对应相乘再求和。
$$
AB = \begin{bmatrix} 1\times5 + 2\times7 & 1\times6 + 2\times8 \\ 3\times5 + 4\times7 & 3\times6 + 4\times8 \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix} 5 + 14 & 6 + 16 \\ 15 + 28 & 18 + 32 \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{bmatrix}
$$
二、行列式计算
题目：
计算以下三阶矩阵的行列式：
$$
C = \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 0 & 3 & 4 \\ 1 & -2 & 5 \end{bmatrix}
$$
解答：
使用展开法（按第一行展开）：
$$
\det(C) = 2 \cdot \begin{vmatrix} 3 & 4 \\ -2 & 5 \end{vmatrix}
- 1 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 4 \\ 1 & 5 \end{vmatrix}
+ (-1) \cdot \begin{vmatrix} 0 & 3 \\ 1 & -2 \end{vmatrix}
$$
分别计算各二阶行列式：
$$
\begin{vmatrix} 3 & 4 \\ -2 & 5 \end{vmatrix} = 3 \times 5 - 4 \times (-2) = 15 + 8 = 23 \\
\begin{vmatrix} 0 & 4 \\ 1 & 5 \end{vmatrix} = 0 \times 5 - 4 \times 1 = -4 \\
\begin{vmatrix} 0 & 3 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = 0 \times (-2) - 3 \times 1 = -3
$$
代入原式：
$$
\det(C) = 2 \times 23 - 1 \times (-4) - 1 \times (-3) = 46 + 4 + 3 = 53
$$
三、向量空间与基
题目：
判断向量组 $ \mathbf{v}_1 = (1, 2, 3), \mathbf{v}_2 = (4, 5, 6), \mathbf{v}_3 = (7, 8, 9) $ 是否为 $ \mathbb{R}^3 $ 的一个基。
解答：
要判断一组向量是否构成基，需要验证它们是否线性无关且能张成整个空间。
构造矩阵 $ D = [\mathbf{v}_1 \ \mathbf{v}_2 \ \mathbf{v}_3] $：
$$
D = \begin{bmatrix} 1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 9 \end{bmatrix}
$$
计算其行列式：
$$
\det(D) = 1 \cdot \begin{vmatrix} 5 & 8 \\ 6 & 9 \end{vmatrix}
- 4 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 8 \\ 3 & 9 \end{vmatrix}
+ 7 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{vmatrix}
$$
$$
= 1 \cdot (5 \times 9 - 8 \times 6) - 4 \cdot (2 \times 9 - 8 \times 3) + 7 \cdot (2 \times 6 - 5 \times 3)
$$
$$
= 1 \cdot (45 - 48) - 4 \cdot (18 - 24) + 7 \cdot (12 - 15)
= 1 \cdot (-3) - 4 \cdot (-6) + 7 \cdot (-3)
= -3 + 24 - 21 = 0
$$
由于行列式为零，说明该向量组线性相关，因此不能构成 $ \mathbb{R}^3 $ 的基。
四、特征值与特征向量
题目：
求矩阵
$$
E = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}
$$
的特征值和对应的特征向量。
解答：
首先求特征方程：
$$
\det(E - \lambda I) = \begin{vmatrix} 2 - \lambda & 1 \\ 1 & 2 - \lambda \end{vmatrix} = (2 - \lambda)^2 - 1 = \lambda^2 - 4\lambda + 3 = 0
$$
解得：
$$
\lambda = 1, \quad \lambda = 3
$$
当 $ \lambda = 1 $ 时：
$$
(E - I)\mathbf{x} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = 0
$$
得到方程 $ x_1 + x_2 = 0 $，设 $ x_1 = t $，则 $ x_2 = -t $，所以特征向量为：
$$
\mathbf{v}_1 = t \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}
$$
当 $ \lambda = 3 $ 时：
$$
(E - 3I)\mathbf{x} = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = 0
$$
得到方程 $ -x_1 + x_2 = 0 $，即 $ x_1 = x_2 $，所以特征向量为：
$$
\mathbf{v}_2 = t \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}
$$
结语
线性代数是一门基础而重要的数学学科，涉及矩阵、行列式、向量空间、特征值等多个核心概念。通过不断练习课后习题，不仅可以巩固理论知识，还能培养严谨的数学思维和实际应用能力。希望本文提供的例题与解答能够帮助读者更好地理解和掌握线性代数的相关内容。
