【分式复习题及解析】在初中数学的学习过程中，分式是一个重要的知识点，它不仅涉及分数的运算规则，还与代数式的化简、方程的解法等紧密相关。掌握好分式的相关知识，有助于提高学生的综合数学能力。以下是一些关于分式的典型复习题及其详细解析，帮助学生巩固基础知识，提升解题技巧。
一、选择题
1. 下列各式中，属于分式的是（ ）
A. $ \frac{3}{5} $
B. $ \frac{x+1}{2} $
C. $ \frac{a}{b} $
D. $ x^2 + y $
解析：
分式的定义是：如果一个代数式中含有字母作为分母，则称为分式。
选项A是常数分数，不是分式；选项B虽然含有字母，但分母为数字，不属于分式；选项C分母为字母，符合分式的定义；选项D是整式。
答案：C
2. 若 $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $，则下列等式成立的是（ ）
A. $ ad = bc $
B. $ ab = cd $
C. $ a + b = c + d $
D. $ a - b = c - d $
解析：
根据比例的基本性质，若两个分式相等，则交叉相乘相等，即 $ ad = bc $。
答案：A
二、填空题
3. 当 $ x = \_\_\_\_ $ 时，分式 $ \frac{x-3}{x+2} $ 无意义。
解析：
分式无意义的情况是分母为零，即 $ x + 2 = 0 $，解得 $ x = -2 $。
答案：-2
4. 化简：$ \frac{2x}{x^2 - 4} = \_\_\_\_ $。
解析：
首先对分母进行因式分解：
$ x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2) $
因此，原式可化简为：
$ \frac{2x}{(x + 2)(x - 2)} $，无法进一步约分，保持原式即可。
答案：$ \frac{2x}{(x+2)(x-2)} $
三、解答题
5. 解方程：
$$
\frac{1}{x-1} + \frac{2}{x+1} = 1
$$
解析：
首先找到公分母，即 $ (x - 1)(x + 1) $，两边同时乘以公分母：
$$
(x - 1)(x + 1)\left(\frac{1}{x-1} + \frac{2}{x+1}\right) = (x - 1)(x + 1)
$$
左边化简为：
$$
(x + 1) + 2(x - 1) = x^2 - 1
$$
展开并整理：
$$
x + 1 + 2x - 2 = x^2 - 1 \Rightarrow 3x - 1 = x^2 - 1
$$
移项得：
$$
x^2 - 3x = 0 \Rightarrow x(x - 3) = 0
$$
解得：$ x = 0 $ 或 $ x = 3 $
检验：当 $ x = 0 $ 时，原方程分母为 $ -1 $ 和 $ 1 $，合法；
当 $ x = 3 $ 时，分母为 $ 2 $ 和 $ 4 $，也合法。
答案：$ x = 0 $ 或 $ x = 3 $
四、应用题
6. 某工程队计划用 $ x $ 天完成一项工程，实际每天比原计划多修路 $ 2 $ 公里，结果提前 $ 3 $ 天完成。已知工程总长度为 $ 120 $ 公里，求原计划每天修多少公里？
解析：
设原计划每天修 $ y $ 公里，则原计划天数为 $ \frac{120}{y} $。
实际每天修 $ y + 2 $ 公里，实际天数为 $ \frac{120}{y + 2} $。
根据题意，有：
$$
\frac{120}{y} - \frac{120}{y + 2} = 3
$$
通分后化简：
$$
120(y + 2) - 120y = 3y(y + 2)
$$
$$
240 = 3y^2 + 6y
$$
$$
y^2 + 2y - 80 = 0
$$
解得：
$$
y = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 320}}{2} = \frac{-2 \pm 18}{2}
$$
得到正根：$ y = 8 $
答案：原计划每天修 8 公里。
总结
分式是初中数学中的重要部分，涉及分式的概念、运算、化简、解方程以及实际应用。通过大量的练习和理解，能够有效提升学生的逻辑思维能力和数学素养。希望以上题目和解析能帮助大家更好地掌握分式的相关内容。
