【【高等数学】求导公式一览表】在高等数学的学习过程中，导数是一个极其重要的概念，它不仅是微积分的基础，也是解决实际问题的重要工具。为了帮助学习者更好地掌握和应用导数知识，本文将系统整理常见的求导公式，并结合实际应用场景进行简要说明。
一、基本初等函数的导数
1. 常数函数
若 $ f(x) = C $（C 为常数），则导数为：
$$ f'(x) = 0 $$
2. 幂函数
若 $ f(x) = x^n $（n 为实数），则导数为：
$$ f'(x) = nx^{n-1} $$
3. 指数函数
若 $ f(x) = a^x $（a > 0, a ≠ 1），则导数为：
$$ f'(x) = a^x \ln a $$
特别地，当 $ a = e $ 时，有：
$$ f'(x) = e^x $$
4. 对数函数
若 $ f(x) = \log_a x $（a > 0, a ≠ 1），则导数为：
$$ f'(x) = \frac{1}{x \ln a} $$
当 $ a = e $ 时，即自然对数函数：
$$ f'(x) = \frac{1}{x} $$
5. 三角函数
- $ f(x) = \sin x $，导数为：
$$ f'(x) = \cos x $$
- $ f(x) = \cos x $，导数为：
$$ f'(x) = -\sin x $$
- $ f(x) = \tan x $，导数为：
$$ f'(x) = \sec^2 x $$
- $ f(x) = \cot x $，导数为：
$$ f'(x) = -\csc^2 x $$
6. 反三角函数
- $ f(x) = \arcsin x $，导数为：
$$ f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $$
- $ f(x) = \arccos x $，导数为：
$$ f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $$
- $ f(x) = \arctan x $，导数为：
$$ f'(x) = \frac{1}{1 + x^2} $$
二、导数的运算法则
1. 和差法则
若 $ f(x) = u(x) \pm v(x) $，则导数为：
$$ f'(x) = u'(x) \pm v'(x) $$
2. 积法则
若 $ f(x) = u(x) \cdot v(x) $，则导数为：
$$ f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) $$
3. 商法则
若 $ f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} $，则导数为：
$$ f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} $$
4. 链式法则
若 $ f(x) = g(u(x)) $，则导数为：
$$ f'(x) = g'(u(x)) \cdot u'(x) $$
三、高阶导数与隐函数求导
1. 高阶导数
对于函数 $ y = f(x) $，其二阶导数为：
$$ y'' = \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left( \frac{dy}{dx} \right) $$
依此类推，可计算更高阶的导数。
2. 隐函数求导
对于由方程 $ F(x, y) = 0 $ 所确定的隐函数 $ y = y(x) $，可以通过两边对 x 求导并解出 $ \frac{dy}{dx} $ 来得到导数。
四、应用举例
例如，已知函数 $ f(x) = x^2 \sin x $，求其导数：
使用乘积法则：
$$ f'(x) = (x^2)' \cdot \sin x + x^2 \cdot (\sin x)' = 2x \sin x + x^2 \cos x $$
再如，设 $ y = \ln(\tan x) $，求导数：
使用链式法则：
$$ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\tan x} \cdot \sec^2 x = \frac{\sec^2 x}{\tan x} $$
五、总结
导数是研究函数变化率的重要工具，在物理、工程、经济等多个领域都有广泛应用。掌握常见函数的导数公式及其运算规则，有助于提高解题效率，加深对函数性质的理解。希望本文能为你的学习提供参考与帮助。
