在学习和掌握概率论与数理统计的过程中，通过做题来检验自己的理解程度是非常重要的。以下是一套精心设计的“概率论与数理统计测试题”，涵盖基本概念、常见分布、参数估计与假设检验等内容，并附有详细解答，帮助读者巩固知识、提升解题能力。
一、选择题（每题4分，共20分）
1. 设随机变量 $ X \sim N(0, 1) $，则 $ P(X > 1) $ 的值约为（ ）
A. 0.1587
B. 0.3413
C. 0.6826
D. 0.8413
2. 若事件 $ A $ 和 $ B $ 相互独立，则以下关系成立的是（ ）
A. $ P(A \cup B) = P(A) + P(B) $
B. $ P(A \cap B) = P(A)P(B) $
C. $ P(A|B) = P(A) $
D. 以上都对
3. 设 $ X \sim \text{Binomial}(n, p) $，则其方差为（ ）
A. $ np $
B. $ np(1-p) $
C. $ n^2p(1-p) $
D. $ p(1-p) $
4. 假设总体服从正态分布 $ N(\mu, \sigma^2) $，从该总体中抽取一个样本 $ X_1, X_2, \ldots, X_n $，则样本均值 $ \bar{X} $ 的分布是（ ）
A. $ N(\mu, \sigma^2) $
B. $ N(\mu, \frac{\sigma^2}{n}) $
C. $ t(n-1) $
D. $ \chi^2(n) $
5. 在显著性水平 $ \alpha = 0.05 $ 下，若某假设检验的 p 值为 0.03，则应（ ）
A. 拒绝原假设
B. 接受原假设
C. 无法判断
D. 重新计算
二、填空题（每空3分，共15分）
1. 若 $ X \sim \text{Poisson}(\lambda) $，则 $ E(X) = $ ________。
2. 正态分布的密度函数为 $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $，其中 $ \mu $ 表示________，$ \sigma $ 表示________。
3. 设 $ X $ 服从均匀分布 $ U(a, b) $，则 $ E(X) = $ ________。
三、简答题（每题10分，共30分）
1. 简述大数定律的基本思想及其在实际中的应用意义。
2. 什么是极大似然估计？请简要说明其原理。
3. 举例说明什么是置信区间，并解释其与假设检验的关系。
四、计算题（每题15分，共30分）
1. 设随机变量 $ X $ 的概率密度函数为：
$$
f(x) =
\begin{cases}
kx(1 - x), & 0 < x < 1 \\
0, & \text{其他}
\end{cases}
$$
求：
(1) 常数 $ k $；
(2) $ E(X) $；
(3) $ P(0.2 < X < 0.8) $。
2. 从某工厂生产的一批产品中随机抽取 100 件，发现其中有 12 件次品。试在显著性水平 $ \alpha = 0.05 $ 下，检验该批产品的次品率是否低于 10%。
五、附加题（10分）
设 $ X_1, X_2, \ldots, X_n $ 是来自正态总体 $ N(\mu, \sigma^2) $ 的简单随机样本，试推导样本方差 $ S^2 $ 的期望值 $ E(S^2) $。
参考答案
一、选择题
1. A
2. D
3. B
4. B
5. A
二、填空题
1. $ \lambda $
2. 均值，标准差
3. $ \frac{a + b}{2} $
三、简答题（略，可根据教材内容作答）
四、计算题
1. (1) $ k = 6 $；(2) $ E(X) = \frac{1}{2} $；(3) $ P(0.2 < X < 0.8) = 0.64 $
2. 拒绝原假设，次品率显著低于 10%
五、附加题
$ E(S^2) = \sigma^2 $
通过本套试题的练习，可以有效提升对概率论与数理统计核心知识点的理解与运用能力。建议在考试前反复演练，结合教材和笔记进行系统复习，以达到最佳效果。
