在概率论与数理统计中，几何分布是一种重要的离散型概率分布，常用于描述在一系列独立重复的伯努利试验中，首次成功发生在第k次试验的概率。它在实际生活中有着广泛的应用，比如在质量检测、可靠性分析、金融风险评估等领域都有涉及。
一、几何分布的定义
设随机变量X表示在进行一系列独立的伯努利试验中，首次成功出现在第X次试验时的次数。如果每次试验成功的概率为p（0 < p < 1），则X服从参数为p的几何分布，记作X ~ Ge(p)。
几何分布的概率质量函数（PMF）为：
$$
P(X = k) = (1 - p)^{k-1} \cdot p, \quad k = 1, 2, 3, \dots
$$
其中，k表示首次成功发生的试验次数，(1 - p) 是每次失败的概率，而p是每次成功的概率。
需要注意的是，有些教材或资料中将几何分布定义为“首次成功前的失败次数”，即X表示在第一次成功之前所经历的失败次数，此时其概率质量函数为：
$$
P(X = k) = (1 - p)^k \cdot p, \quad k = 0, 1, 2, \dots
$$
这种情况下，X的取值从0开始，而不是从1开始。因此，在使用几何分布时，需明确其定义方式。
二、几何分布的期望
期望（数学期望）是衡量一个随机变量平均值的重要指标。对于几何分布X ~ Ge(p)，我们来推导其期望E[X]。
根据定义，有：
$$
E[X] = \sum_{k=1}^{\infty} k \cdot P(X = k) = \sum_{k=1}^{\infty} k \cdot (1 - p)^{k-1} \cdot p
$$
我们可以利用幂级数求和的方法来计算这个期望。令q = 1 - p，则上式变为：
$$
E[X] = p \cdot \sum_{k=1}^{\infty} k \cdot q^{k-1}
$$
考虑无穷级数 $\sum_{k=1}^{\infty} k \cdot r^{k-1}$，其中 $|r| < 1$，该级数的和为：
$$
\sum_{k=1}^{\infty} k \cdot r^{k-1} = \frac{1}{(1 - r)^2}
$$
因此，
$$
E[X] = p \cdot \frac{1}{(1 - q)^2} = p \cdot \frac{1}{p^2} = \frac{1}{p}
$$
所以，几何分布的期望为：
$$
E[X] = \frac{1}{p}
$$
三、几何分布的方差
方差是衡量随机变量与其期望之间偏离程度的指标。对于几何分布X ~ Ge(p)，我们计算其方差Var(X) = E[X²] - (E[X])²。
首先，我们计算E[X²]：
$$
E[X^2] = \sum_{k=1}^{\infty} k^2 \cdot (1 - p)^{k-1} \cdot p
$$
同样令q = 1 - p，得：
$$
E[X^2] = p \cdot \sum_{k=1}^{\infty} k^2 \cdot q^{k-1}
$$
考虑无穷级数 $\sum_{k=1}^{\infty} k^2 \cdot r^{k-1}$，其和为：
$$
\sum_{k=1}^{\infty} k^2 \cdot r^{k-1} = \frac{1 + r}{(1 - r)^3}
$$
代入r = q，得：
$$
E[X^2] = p \cdot \frac{1 + q}{(1 - q)^3} = p \cdot \frac{1 + (1 - p)}{p^3} = p \cdot \frac{2 - p}{p^3} = \frac{2 - p}{p^2}
$$
因此，方差为：
$$
Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = \frac{2 - p}{p^2} - \left(\frac{1}{p}\right)^2 = \frac{2 - p - 1}{p^2} = \frac{1 - p}{p^2}
$$
所以，几何分布的方差为：
$$
Var(X) = \frac{1 - p}{p^2}
$$
四、总结
几何分布作为一种描述首次成功发生次数的模型，具有清晰的定义和简洁的数学表达。通过数学推导，我们得到了其期望和方差的公式，分别为：
- 期望：$E[X] = \frac{1}{p}$
- 方差：$Var(X) = \frac{1 - p}{p^2}$
这些结果在实际应用中非常有用，能够帮助我们更好地理解和预测随机事件的发生规律。
