.等比数列求和典型例题
在数学中，等比数列是一种常见的数列类型，其特点是每一项与前一项的比值相等。这种特性使得等比数列具有许多独特的性质和应用。本文将通过几个典型的例题来探讨如何计算等比数列的和。
例题1：基础公式应用
设有一个等比数列 \(a, ar, ar^2, \ldots, ar^{n-1}\)，其中 \(a\) 是首项，\(r\) 是公比，\(n\) 是项数。该数列的前 \(n\) 项和 \(S_n\) 可以通过公式计算：
\[
S_n = a \frac{1-r^n}{1-r}, \quad r \neq 1
\]
问题：求等比数列 \(3, 6, 12, \ldots\) 的前5项和。
解答：
- 首项 \(a = 3\)
- 公比 \(r = 2\)
- 项数 \(n = 5\)
代入公式：
\[
S_5 = 3 \frac{1-2^5}{1-2} = 3 \frac{1-32}{-1} = 3 \times 31 = 93
\]
因此，前5项和为 \(93\)。
例题2：无穷等比数列求和
当等比数列的公比 \(|r| < 1\) 时，数列的和可以扩展到无穷项。此时，无穷等比数列的和 \(S_\infty\) 可以通过公式计算：
\[
S_\infty = \frac{a}{1-r}, \quad |r| < 1
\]
问题：求无穷等比数列 \(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \ldots\) 的和。
解答：
- 首项 \(a = 1\)
- 公比 \(r = \frac{1}{2}\)
代入公式：
\[
S_\infty = \frac{1}{1-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2
\]
因此，无穷等比数列的和为 \(2\)。
例题3：实际问题中的应用
在实际问题中，等比数列常常用于描述增长或衰减的过程。例如，某人口每年以固定比例增长。
问题：某城市人口每年增长率为 \(10\%\), 初始人口为 \(100,000\)。求第5年的人口。
解答：
- 初始人口 \(a = 100,000\)
- 增长率 \(r = 1.1\)
- 年份 \(n = 5\)
根据等比数列的第 \(n\) 项公式：
\[
a_n = a \cdot r^{n-1}
\]
代入数据：
\[
a_5 = 100,000 \cdot (1.1)^4 = 100,000 \cdot 1.4641 = 146,410
\]
因此，第5年的人口为 \(146,410\)。
通过以上三个例题，我们可以看到等比数列求和在不同场景下的应用。掌握这些基本公式和方法，可以帮助我们更有效地解决相关问题。
希望这篇文章能够帮助你更好地理解等比数列求和的相关知识！
