在数学中，完全立方公式是一个非常重要的代数恒等式，它可以帮助我们快速地展开或简化某些复杂的多项式表达式。这里我们将详细推导出完全立方公式的两个常见形式：(a+b)^3 和 (a-b)^3。

推导(a+b)^3

首先，我们知道立方展开的基本公式是：

(a+b)^3 = (a+b)(a+b)(a+b)

我们可以先计算前两部分的乘积：

(a+b)(a+b) = a^2 + 2ab + b^2

接下来，将这个结果再与(a+b)相乘：

(a^2 + 2ab + b^2)(a+b) = a^3 + 2a^2b + ab^2 + a^2b + 2ab^2 + b^3

合并同类项后得到：

(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3

这就是完全立方公式的第一种形式。

推导(a-b)^3

同样地，我们从基本定义开始：

(a-b)^3 = (a-b)(a-b)(a-b)

先计算前两部分的乘积：

(a-b)(a-b) = a^2 - 2ab + b^2

然后将其与(a-b)相乘：

(a^2 - 2ab + b^2)(a-b) = a^3 - 2a^2b + ab^2 - a^2b + 2ab^2 - b^3

合并同类项后得到：

(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3

这就是完全立方公式的第二种形式。

通过上述推导过程，我们可以清晰地看到这两个公式的结构和特点。它们不仅适用于纯数字之间的运算，也可以应用于变量和函数的处理。掌握这些公式对于解决更高级别的数学问题具有重要意义。希望本文对你理解完全立方公式有所帮助！