什么是极大无关组？

在数学中，向量组的极大无关组是指在一个向量组中找到一组线性无关的向量，并且这组向量不能再增加任何一个向量而不破坏其线性无关性。换句话说，极大无关组是一个向量组中最大的线性无关子集。

例题解析

假设我们有以下三个向量组成的向量组：

\[ \vec{a} = (1, 2, 3) \]

\[ \vec{b} = (4, 5, 6) \]

\[ \vec{c} = (7, 8, 9) \]

我们需要判断这三个向量是否线性相关，并找出它们的极大无关组。

第一步：构建矩阵

将这三个向量作为列向量构成一个矩阵：

\[

A =

\begin{bmatrix}

1 & 4 & 7 \\

2 & 5 & 8 \\

3 & 6 & 9

\end{bmatrix}

\]

第二步：行变换化简

通过初等行变换将矩阵 \( A \) 化为行最简形。执行以下操作：

1. 用第一行消去第二行和第三行的第一个元素：

- 第二行减去两倍的第一行

- 第三行减去三倍的第一行

得到：

\[

\begin{bmatrix}

1 & 4 & 7 \\

0 & -3 & -6 \\

0 & -6 & -12

\end{bmatrix}

\]

2. 再用第二行消去第三行的第二个元素：

- 第三行减去两倍的第二行

得到最终的行最简形矩阵：

\[

\begin{bmatrix}

1 & 4 & 7 \\

0 & 1 & 2 \\

0 & 0 & 0

\end{bmatrix}

\]

第三步：分析结果

从行最简形矩阵可以看出，第一列和第二列对应的向量是线性无关的，而第三列可以由前两列线性表示。因此，向量组的极大无关组由前两个向量组成：

\[ \{\vec{a}, \vec{b}\} \]

总结

通过上述步骤，我们可以清晰地找到向量组的极大无关组。这种方法的关键在于通过矩阵的行变换来简化问题，从而确定哪些向量是线性无关的。希望这个例子能够帮助大家更好地理解和掌握求解向量组极大无关组的方法。