在高中数学的学习过程中，不等式是一个重要的知识点，它不仅贯穿于代数、几何等多个领域，还常常出现在各类考试中。为了帮助同学们更好地掌握这一部分内容，本文将精选一些经典的不等式习题，并提供详细的解答过程，希望能为学习者带来启发。
经典习题一：基本性质的应用
题目：已知 $a > b$，判断下列不等式的正确性：
1. $a + c > b + c$
2. $ac > bc$（假设 $c > 0$）
3. $\frac{a}{c} > \frac{b}{c}$（假设 $c > 0$）
解析：
- 对于第1条，根据不等式的加法性质，两边同时加上相同的数不会改变大小关系，因此 $a + c > b + c$ 成立。
- 对于第2条，当 $c > 0$ 时，不等式两边同乘以正数 $c$，大小关系保持不变，故 $ac > bc$ 成立。
- 对于第3条，同样因为 $c > 0$，不等式两边同时除以正数 $c$ 后大小关系不变，所以 $\frac{a}{c} > \frac{b}{c}$ 也成立。
答案：三条均成立。
经典习题二：绝对值不等式的解法
题目：求解不等式 $|x - 3| < 5$。
解析：
根据绝对值不等式的定义，$|x - 3| < 5$ 可以转化为以下两部分：
$$
-5 < x - 3 < 5
$$
接下来进行移项运算：
$$
-5 + 3 < x < 5 + 3
$$
即
$$
-2 < x < 8
$$
答案：解集为 $(-2, 8)$。
经典习题三：二次不等式的求解
题目：解不等式 $x^2 - 4x - 5 < 0$。
解析：
首先对不等式左侧进行因式分解：
$$
x^2 - 4x - 5 = (x - 5)(x + 1)
$$
因此原不等式变为：
$$
(x - 5)(x + 1) < 0
$$
利用零点分段法，令 $(x - 5)(x + 1) = 0$，得到两个关键点 $x = -1$ 和 $x = 5$。将数轴分为三个区间：$(-\infty, -1)$、$(-1, 5)$ 和 $(5, +\infty)$。通过测试各区间内任意一点的符号，可以确定解集为：
$$
(-1, 5)
$$
答案：解集为 $(-1, 5)$。
经典习题四：均值不等式的应用
题目：已知 $a > 0$，$b > 0$，且 $a + b = 1$，求证 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq 4$。
解析：
由均值不等式可知：
$$
\frac{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}{2} \geq \sqrt{\frac{1}{a} \cdot \frac{1}{b}}
$$
化简后得：
$$
\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq 2 \sqrt{\frac{1}{ab}}
$$
又因为 $a + b = 1$，结合均值不等式可得：
$$
ab \leq \left(\frac{a + b}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}
$$
因此：
$$
\sqrt{\frac{1}{ab}} \geq \sqrt{4} = 2
$$
从而：
$$
\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq 2 \times 2 = 4
$$
答案：$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq 4$。
以上就是几个典型的不等式习题及其详细解答。通过这些练习，我们可以进一步巩固基础知识并提高解题能力。希望同学们能够多加思考，灵活运用各种方法解决实际问题！
