在八年级的数学学习中，勾股定理是一个非常重要的知识点。它不仅是几何学的基础，也是解决实际问题的重要工具。为了帮助同学们更好地掌握这一知识点，本文提供了一系列拓展提高练习题，并附有详细答案解析。
一、基础回顾
勾股定理的核心公式为：a² + b² = c²，其中a和b是直角三角形的两条直角边，c是斜边。通过这个公式，我们可以计算直角三角形中的未知边长或验证是否为直角三角形。
二、拓展练习题
1. 题目1
已知直角三角形的两条直角边分别为3cm和4cm，请计算斜边的长度。
- 解答
根据勾股定理公式：
\[
c = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \, \text{cm}
\]
斜边长度为5cm。
2. 题目2
一个直角三角形的斜边长为10cm，一条直角边长为6cm，请计算另一条直角边的长度。
- 解答
设另一条直角边为x，则根据勾股定理公式：
\[
x^2 + 6^2 = 10^2
\]
\[
x^2 + 36 = 100
\]
\[
x^2 = 64
\]
\[
x = \sqrt{64} = 8 \, \text{cm}
\]
另一条直角边的长度为8cm。
3. 题目3
判断以下三组数据是否能构成直角三角形：
(1) 5, 12, 13
(2) 7, 24, 25
(3) 8, 15, 17
- 解答
对于每一组数据，分别代入勾股定理公式进行验证：
(1) \(5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2\) → 是直角三角形
(2) \(7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 = 25^2\) → 是直角三角形
(3) \(8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289 = 17^2\) → 是直角三角形
所有三组数据均能构成直角三角形。
三、提高练习题
1. 题目4
已知直角三角形的周长为30cm，其中一条直角边比另一条直角边长4cm，请计算三条边的长度。
- 解答
设较短的直角边为x，则较长的直角边为x+4，斜边为y。根据题意，周长为30cm，因此：
\[
x + (x+4) + y = 30
\]
\[
2x + y = 26 \quad \text{(1)}
\]
再根据勾股定理公式：
\[
x^2 + (x+4)^2 = y^2
\]
将(1)式代入，解得x=6，x+4=10，y=14。
三条边的长度分别为6cm、10cm、14cm。
2. 题目5
一个直角三角形的面积为24cm²，其中一条直角边长为6cm，请计算另一条直角边的长度。
- 解答
直角三角形的面积公式为：
\[
\text{面积} = \frac{1}{2} \times \text{底} \times \text{高}
\]
已知面积为24cm²，一条直角边为6cm，则另一条直角边为：
\[
24 = \frac{1}{2} \times 6 \times h
\]
\[
h = 8 \, \text{cm}
\]
另一条直角边的长度为8cm。
四、总结
通过以上练习，我们进一步巩固了勾股定理的应用。希望同学们能够熟练掌握这一知识点，并能在实际问题中灵活运用。如果还有疑问，可以随时查阅相关资料或请教老师。
答案解析仅供参考，如有错误请以实际情况为准。
