\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C) \]

这一公式的推导过程可以从多种角度入手，其中一种较为直观的方法是通过向量分析来证明。

首先，我们考虑三角形ABC的顶点坐标表示。设点A位于原点(0, 0)，点B位于(a, 0)，而点C位于(x, y)。根据向量的定义，我们可以写出向量AB和AC如下：

- 向量AB = (a, 0)

- 向量AC = (x, y)

接下来，利用向量的模长公式计算向量BC的长度平方。向量BC可以通过减法得到，即：

\[ \vec{BC} = \vec{AC} - \vec{AB} = (x-a, y) \]

因此，向量BC的模长平方为：

\[ |\vec{BC}|^2 = (x-a)^2 + y^2 \]

展开后得到：

\[ |\vec{BC}|^2 = x^2 - 2ax + a^2 + y^2 \]

另一方面，根据余弦定理，我们知道：

\[ |\vec{BC}|^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C) \]

将这两个表达式等同起来，并注意到 \(b^2 = x^2 + y^2\)（因为B到C的距离就是b），就可以得出余弦定理的结论。

这种方法不仅逻辑清晰，而且借助了现代数学工具——向量分析，使得整个证明过程更加简洁明了。通过这种方式理解余弦定理，可以帮助学生更好地掌握其本质含义及其在实际问题中的应用价值。